ഗണിതം മധുരം

#ഗണിതംമധുരം

ദൂരം -വേഗത - സമയം

പാർട്ട് 7

പ്രീയമുള്ളവരേ,
ഇന്ന് ഒരു കാര്യം കൂടി പഠിക്കാം..

ഒരേ ദൂരം രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേഗതയിൽ സഞ്ചരിച്ച് കഴിയുമ്പോഴുള്ള സമയ വ്യത്യാസം തന്നിരുന്നാൽ സഞ്ചരിച്ച ദൂരം കണ്ടെത്താൻ

( S1 x S2 )
----------------- x സമയ വ്യത്യാസം
(S1 - S2)

S1 = ഒന്നാമത്തെ വേഗത
S2 = രണ്ടാമത്തെ വേഗത ( Speed )

ഈ ഒരു ഉദാഹരണം കാണുമ്പോള്‍ കൂടുതല്‍ മനസ്സിലാകും.

മണിക്കൂറിൽ 10 km/hr വേഗതയിലും 15 km/hr വേഗതയിലും യാത്ര ചെയ്യുന്ന രണ്ട് സൈക്കിൾ യാത്രക്കാർ നിശ്ചിത ദൂരം പിന്നിട്ടത് 10 മിനുട്ട് വ്യത്യാസത്തിലാണ്. അവർ എത്ര ദൂരമാണ് യാത്ര ചെയ്തത് ?

( S1 x S2 )
----------------- x സമയ വ്യത്യാസം
(S1 - S2)

( 15 x 10 )
----------------- x 10
(15 - 10)

150 10
-------- x ------
5 60

1500/ 300 = 5 km

(ഇവിടെ വേഗത മണിക്കൂറിലും സമയ വ്യത്യാസം മിനുട്ടിലും തന്നിരിക്കുന്നതിനാൽ മിനുട്ടിനെ മണിക്കൂറാക്കി മാറ്റണം. 10 മിനുട്ടെന്നാൽ 10/60 മണിക്കൂറാണല്ലോ)

ഇത്രേയുള്ളൂ .. മനസിലായല്ലോ..

കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ അടുത്ത ദിവസം ചെയ്യാം..
ശുഭരാത്രി...

===============

#ഗണിതംമധുരം

ദൂരം -വേഗത - സമയം 

പാർട്ട് 6

പ്രീയമുള്ളവരേ,
കഴിഞ്ഞ ദിവസം ഒരേ ദിശയില്‍ സമാന്തരമായി സഞ്ചരിക്കുന്ന രണ്ടു തീവണ്ടികള്‍ ഒന്ന് മറ്റൊന്നിനെ കടന്നു പോകാന്‍ എടുക്കുന്ന സമയം കണ്ടെത്തുന്ന വിധം പഠിച്ചല്ലോ ..
ഇനി എതിർ ദിശയിൽ വരുന്ന 2 തീവണ്ടികൾ പരസ്പരം കടന്നു പോകാൻ എടുക്കുന്ന സമയം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നോക്കാം...

അത് ഇങ്ങനെയാണ്...

( L1 +L2 ) / (S1 + S2)

L1, L2 = തീവണ്ടികളുടെ നീളം ( Length )
S1, S2 = വേഗത ( Speed )

കഴിഞ്ഞ ഫോർമുലയിൽ നിന്നും ഒരു ചിഹ്നത്തിന്റെ മാറ്റം മാത്രമേ ഉണ്ടായിട്ടുള്ളൂ.. എന്ന് കണ്ടല്ലോ ..

ഈ ഒരു ഉദാഹരണം കാണുമ്പോള്‍ കൂടുതല്‍ മനസ്സിലാകും.

എതിർ ദിശയില്‍ നിന്ന് വരുന്ന 240 മീറ്ററും 310 മീറ്ററും നീളമുള്ള രണ്ടു തീവണ്ടികളുടെ വേഗത യഥാക്രമം 40 km/hr ഉം 70 km/hr ഉം ആണ് . ഇവ പരസ്പരം കടന്നു പോകാന്‍ എത്ര സമയം എടുക്കും. ?

ചെയ്യുന്ന വിധം നോക്കൂ..

( L1 +L2 ) / (S1 +S2)

( 240+310) / (40+70)

= 550 മീറ്റര്‍ / 110km/hr

ഇവിടെ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ട കാര്യം ഓര്‍മ്മ ഉണ്ടല്ലോ.?

എന്താണ്..?

ചോദ്യത്തില്‍ രണ്ടു യൂണിറ്റുകള്‍ വന്നിരിക്കുന്നു . നീളം മീറ്ററിലും വേഗത കിലോ മീറ്ററിലും ആയതിനാല്‍ ഇതിനെ ഒരു യൂണിറ്റിലേക്ക് മാറ്റണം.

110 km/ hr നെ m/sec ലേക്ക് മാറ്റുക.

അതെങ്ങനെ ആണെന്ന് മുമ്പ് പഠിചതാണല്ലോ .. മറന്നവര്‍ ഒരിക്കല്‍ കൂടി ആ ഭാഗം നോക്കുക.

110 km/ hr നെ m/sec ലേക്ക് മാറ്റാന്‍

110 നെ 5/18 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാല്‍ മതി .

അത് എളുപ്പ രീതിയിൽ ഇങ്ങനെ ചെയ്യാം.

550 x 18
---------------
110 x 5

= 18 സെക്കന്റ് എന്ന് കിട്ടും.

ഇത്രേയുള്ളൂ .. മനസിലായല്ലോ ??

ഒരു കണക്കു തന്നാല്‍ ചെയ്യാമല്ലോ.??

എതിർ ദിശയില്‍ സഞ്ചരിക്കുന്ന 260 മീറ്ററും 240 മീറ്ററും നീളമുള്ള രണ്ടു തീവണ്ടികളുടെ വേഗത യഥാക്രമം 120 km/hr ഉം 80 km/hr ഉം ആണ് . ഇവ പരസ്പരം കടന്നു പോകാന്‍ എത്ര സമയം എടുക്കും. ?

==================

Raj K‎PSC EXAM TIPS

13 mins · 

#ഗണിതംമധുരം

ദൂരം -വേഗത - സമയം

പാർട്ട് 5 

പ്രീയമുള്ളവരേ,
ഇന്ന് ഈ മേഖലയിലെ മറ്റൊരുതരം ചോദ്യം പരിചയപ്പെടാം.

ഒരേ ദിശയില്‍ സമാന്തരമായി സഞ്ചരിക്കുന്ന രണ്ടു തീവണ്ടികള്‍ ഒന്ന് മറ്റൊന്നിനെ കടന്നു പോകാന്‍ എടുക്കുന്ന സമയം കണ്ടെത്താന്‍ ചോദിക്കാറുണ്ട് . 
അത് ഇങ്ങനെയാണ്... 

( L1 +L2 ) / (S1- S2)

L1, L2 = തീവണ്ടികളുടെ നീളം ( Length )
S1, S2 = വേഗത ( Speed ) 

ഇത്രയും കാര്യമേ ഉള്ളൂ... ഒട്ടും സങ്കീര്‍ണ്ണം ആക്കാതെ ലളിതമായി മനസ്സിലാക്കാന്‍ ശ്രമിക്കൂ... 

ഈ ഒരു ഉദാഹരണം കാണുമ്പോള്‍ കൂടുതല്‍ മനസ്സിലാകും. 

ഒരേ ദിശയില്‍ സമാന്തരമായി സഞ്ചരിക്കുന്ന 100 മീറ്ററും 120 മീറ്ററും നീളമുള്ള രണ്ടു തീവണ്ടികളുടെ വേഗത യഥാക്രമം 72 km/hr ഉം 54 km/hr ഉം ആണ് . ഇതില്‍ വേഗം കൂടിയ തീവണ്ടി വേഗത കുറഞ്ഞ തീവണ്ടിയെ കടന്നു പോകാന്‍ എത്ര സമയം എടുക്കും. ?

ചെയ്യുന്ന വിധം നോക്കൂ..

( L1 +L2 ) / (S1- S2)

( 100+120) / (72-54)

= 220 മീറ്റര്‍ /18 km/hr 

ഇവിടെ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ട കാര്യം ഓര്‍മ്മ ഉണ്ടല്ലോ.?

എന്താണ്..? 

ചോദ്യത്തില്‍ രണ്ടു യൂണിറ്റുകള്‍ വന്നിരിക്കുന്നു . നീളം മീറ്ററിലും വേഗത കിലോ മീറ്ററിലും ആയതിനാല്‍ ഇതിനെ ഒരു യൂണിറ്റിലേക്ക് മാറ്റണം. 
18 km/ hr നെ m/sec ലേക്ക് മാറ്റുക. 

അതെങ്ങനെ ആണെന്ന് മുമ്പ് പഠിചതാണല്ലോ .. മറന്നവര്‍ ഒരിക്കല്‍ കൂടി ആ ഭാഗം നോക്കുക. 

18 km/ hr നെ m/sec ലേക്ക് മാറ്റാന്‍ 

18 നെ 5/18 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാല്‍ മതി . 

= 5 m /sec എന്ന് കിട്ടും. 

ഇനി ബാക്കി ചെയ്യുക 

220/5 = 44 സെക്കന്റ് 

ഇത്രേയുള്ളൂ .. മനസിലായല്ലോ ??

ഒരു കണക്കു തന്നാല്‍ ചെയ്യാമല്ലോ.??

ഒരേ ദിശയില്‍ സമാന്തരമായി സഞ്ചരിക്കുന്ന 90 മീറ്ററും 60 മീറ്ററും നീളമുള്ള രണ്ടു തീവണ്ടികളുടെ വേഗത യഥാക്രമം 45 km/hr ഉം 55 km/hr ഉം ആണ് . ഇതില്‍ വേഗം കൂടിയ തീവണ്ടി വേഗത കുറഞ്ഞ തീവണ്ടിയെ കടന്നു പോകാന്‍ എത്ര സമയം എടുക്കും. ?

==========================

Raj K‎PSC EXAM TIPS

22 hrs · 

#ഗണിതംമധുരം

ദൂരം -വേഗത - സമയം

പാർട്ട് 4 

പ്രീയമുള്ളവരേ,
ഇന്ന് ഈ മേഖലയിലെ മറ്റൊരുതരം ചോദ്യം പരിചയപ്പെടാം.

ശരാശരി വേഗത
==============
ഒരു വാഹനം ഒരേ ദൂരം രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേഗതയിൽ സഞ്ചരിച്ചാൽ ശരാശരി വേഗത കാണുന്നതിന് 

2 ab 
--------
a + b 

എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കണം.

a = ആദ്യത്തെ വേഗത 
b = രണ്ടാമത്തെ വേഗത. 
ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഒരാൾ തിരുവനന്തപുരത്ത് നിന്നും കൊല്ലത്തേക്ക് 40 km/hr വേഗതയിലും തിരിച്ച് തിരുവനന്തപുരത്തേക്ക് 60 km/hr വേഗതയിലും സഞ്ചരിക്കുന്നു. എങ്കിൽ യാത്രയുടെ ശരാശരി വേഗത എത്ര ?

ചെയ്യുന്ന വിധം നോക്കൂ..

2 ab 
--------
a + b 

2x 40 x 60
-------------------
40 + 60 

= 4800 / 100 = 48 km/hr

ഇത്രേയുള്ളൂ .. മനസിലായല്ലോ ??

ഇനി ഈ ചോദ്യം തന്നെ അൽപം വ്യത്യാസപ്പെടുത്തിയും ചോദിക്കാം. 

ഒരേ ദൂരം 3 വ്യത്യസ്ത വേഗതയിൽ സഞ്ചരിച്ചാൽ ശരാശരി വേഗത =
      3 abc
-------------------
ab + bc + ac
a = ഒന്നാമത്തെ വേഗത
b = രണ്ടാമത്തെ വേഗത
c= മൂന്നാമത്തെ വേഗത.
മനസിലായെങ്കിൽ ഈ കണക്ക് ചെയ്യൂ 

ഒരാൾ തിരുവനന്തപുരത്ത് നിന്നും കൊല്ലത്തേക്ക് 40 km/hr വേഗതയിലും തിരിച്ച് തിരുവനന്തപുരത്തേക്ക് 60 km/hr വേഗതയിലും അവിടുന്ന് കൊല്ലത്തേക്ക് 30 km/hr വേഗതയിലും സഞ്ചരിക്കുന്നു. എങ്കിൽ ആകെയാത്രയുടെ ശരാശരി വേഗത എത്ര ?

വേഗം ചെയ്തേ....

xxxxxxxxxxxxxx

Raj K‎PSC EXAM TIPS

March 19 · 

#ഗണിതംമധുരം
ദൂരം - വേഗത - സമയം - Part 3

പ്രീയമുള്ളവരേ,
ഇന്നലെ നമ്മൾ ചില അടിസ്ഥാന പാഠങ്ങൾ പഠിച്ചുവല്ലോ.. ഇനി ഈ വിഷയത്തിൽ നിന്നും പരീക്ഷയ്ക്ക് ചോദിക്കാൻ സാധ്യതയുള്ള ചില ചോദ്യമേഖലകൾ പരിചയപ്പെടാം.., പഠിക്കാം..

ഒരു നിശ്ചിത നീളമുള്ള ട്രയിൻ ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിനേയോ ഇലക്ട്രിക് പോസ്റ്റിനേയോ ആളിനെയോ കടന്നു പോകുവാൻ എടുക്കുന്ന സമയം എത്രയാണെന്ന് ചോദിക്കാറുണ്ട് ..

വളരെ എളുപ്പത്തിൽ ഇതിന്റെ ഉത്തരം കണ്ടെത്താം 

സമയം = ദൂരം / വേഗത ആണെന്ന് ഇന്നലെ പഠിച്ചല്ലോ. ഇവിടെ ദൂരമായി ട്രയിനിന്റെ നീളം എടുക്കുക. അതിനെ വേഗത കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. ഉത്തരം റെഡി.

ഇനി, ഒരു ട്രയിൻ പ്ലാറ്റ്ഫോമിൽ നിൽക്കുന്ന ഒരാളെ കടന്നു പോകാൻ സഞ്ചരിക്കേണ്ട ദൂരം എത്ര ?

ഉത്തരം: ട്രയിനിന്റെ നീളം എത്രയാണോ അതായിരിക്കും ദൂരം.

ഇത് മനസിലായല്ലോ ??

ഇനി ട്രയിൻ ഒരു പാലത്തിനെയോ പ്ലാറ്റ്ഫോമിനെയോ മറ്റൊരു ട്രയിനിനെയോ കടന്നു പോകുമ്പോൾ ദൂരമായി രണ്ട് നീളവും കൂട്ടി എടുക്കുക.

മനസിലായില്ലല്ലേ .?

ഈ കണക്ക് നോക്കൂ..

36 km/hr വേഗതയിൽ സഞ്ചരിക്കുന്ന 100 മീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു ട്രയിനിന് 80 മീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു പാലം കടക്കുന്നതിന് എത്ര സമയം വേണം ?

സമയം = ദൂരം/വേഗത

ദൂരം = രണ്ട് നീളവും കൂട്ടിയെടുക്കുക.
= 100 + 80 = 180 m
വേഗത = 36 km/ hr 

ഇന്നലെ പറഞ്ഞ ഒരു കാര്യം ഓർക്കുന്നുണ്ടല്ലോ ? ഒരു ചോദ്യത്തിൽ തന്നെ രണ്ട് സമയ യൂണിറ്റുകൾ വന്നാൽ അതിനെ ആദ്യം ഒരേ യൂണിറ്റാക്കി മാറ്റണം.
ഇവിടെ ദൂരം മീറ്ററിലും വേഗത കിലോ മീറ്ററിലും തന്നിരിക്കുന്നത് ശ്രദ്ധിച്ചോ ?
എങ്കിൽ കിലോ മീറ്ററിനെ നമുക്ക് മീറ്ററിലേക്ക് ആദ്യം മാറ്റാം..

36 km/hr നെ m/Sec ആക്കുക .

ചിലത് കാണാതെ പഠിച്ചു വെക്കണമെന്നും ഇന്നലെ പറഞ്ഞിരുന്നു. ഓക്കെ, അതുപോകട്ടെ

36 x 5 / 18 = 10 m/Sec എന്ന് കിട്ടും.

ഇനി സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കൂ..

സമയം = ദൂരം/ വേഗത

= 180/10 = 18 സെക്കന്റ് എന്ന് കിട്ടും.

മനസിലായോ ??
ഇല്ലെങ്കിൽ ഒന്നു കൂടി മനസ്സിരുത്തി വായിക്കൂ..

മനസിലായെങ്കിൽ ഈ കണക്ക് ചെയ്യൂ..

ചോദ്യം : മണിക്കൂറിൽ 72 കി.മി. വേഗത്തിൽ ഓടുന്ന 150 മീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു തീവണ്ടി 250 മീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു പാലം കടക്കാൻ എത്ര സമയമെടുക്കും ??

വേഗം ചെയ്തേ...

=====================

Raj K‎PSC EXAM TIPS

March 18 · 

#ഗണിതംമധുരം

ദൂരം - വേഗത - സമയം - Part 2

പ്രീയമുള്ളവരേ,

വ്യത്യസ്ത സമയ യൂണിറ്റുകൾ ഒരു ചോദ്യത്തിൽ വന്നാൽ അവയെ ഒരേ യൂണിറ്റ് ആക്കുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് പഠിച്ചല്ലോ...

സാധാരണ PSC ചോദ്യങ്ങളിൽ ആവർത്തിക്കുന്ന ചില സമയ യൂണിറ്റുകൾ ഉണ്ട്. അവ ഒന്ന് മനപാഠമാക്കി വച്ചാൽ പരീക്ഷാ സമയത്ത് വേഗത്തിൽ ഉത്തരം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും .

18 km /hr = 5 m/Sec

36 Km/hr = 10 m/Sec

54 km /hr = 15 m/Sec

72 Km/hr = 20m/Sec

90 km /hr = 25 m/Sec

108Km/hr = 30m/Sec

198 km /hr = 55 m/Sec

ഒരു പ്രത്യേകത ശ്രദ്ധിച്ചോ ??

ഓരോ 18 കിലോമീറ്റർ കൂടുമ്പോഴും 5 m/Sec കൂടുന്നു. 

അതായത് ഒരെണ്ണം ഓർമ്മയിൽ സൂക്ഷിച്ചാൽ ഏത് വേണേലും മനക്കണക്കായി കണ്ടെത്താമെന്ന് സാരം..

ചുരുക്കത്തിൽ ആദ്യത്തെ ഒരെണ്ണമെങ്കിലും ഓർമ്മയിൽ സൂക്ഷിക്കണമെന്ന്....

പറ്റുമോ ??

------------************------------

#ഗണിതംമധുരം

ദൂരം - വേഗത - സമയം 

പ്രിയമുള്ളവരേ.,
ഒരു ചെറിയ ഇടവേളയ്ക്ക് ശേഷം ഗണിതം മധുരം ക്ലാസ്സ് ആരംഭിക്കുകയാണ്.

ദൂരവും സമയവും പിന്നെ വേഗതയുമാണ് ഇനി നമ്മൾ പഠനവിധേയമാക്കുന്നത്. 

ചിത്രത്തിൽ തന്നിരുന്ന സൂത്രവാക്യം അതേ ദൃശ്യമായി തന്നെ മനസിൽ പതിപ്പിക്കുക. 

"ദൂ വേ സ " എന്ന് എളുപ്പത്തിൽ ഓർത്ത് വയ്ക്കാം.

ദൂരം = വേഗത X സമയം
വേഗത = ദൂരം / സമയം
സമയം = ദൂരം / വേഗത 

ചിത്രം ഓർമ്മയിലുണ്ടെങ്കിൽ ഈ സൂത്രവാക്യം ഒരിക്കലും മറക്കില്ല.
അപ്പോൾ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യം നമ്മൾ പഠിച്ചു. 
ഇനി, ശ്രദ്ധിക്കേണ്ട ഒരു കാര്യം പറയാം.

സാധാരണ വേഗതയുടെ യൂണിറ്റ് km/hr , m/Sec എന്നീ യൂണിറ്റുകളിലാണ് പറയാറുള്ളത്. 

Km/hr എന്നാൽ എന്താണെന്ന് അറിയാമല്ലോ അല്ലേ ? 
അറിയാൻ വയ്യാത്തവർ ഉണ്ടെങ്കിൽ നോക്കൂ..

ഒരു കാർ 70 കിലോമീറ്റർ സ്പീഡിൽ ആണ് സഞ്ചരിക്കന്നത് എന്ന് പറഞ്ഞാൽ അതിന്റെ വേഗത = 70 km/hr (അതായത് 1 മണിക്കൂറിൽ വാഹനം സഞ്ചരിക്കുന്ന ദൂരം ) 

അത്രേയുള്ളൂ .

അതുപോട്ടെ.,
കാര്യത്തിലേയ്ക്ക് വരാം.

ചിലപ്പോൾ ഒരേ ചോദ്യത്തിൽ തന്നെ വ്യത്യസ്ത സമയ യൂണിറ്റുകൾ തന്നാൽ അവയെ ഏതെങ്കിലും ഒരു യൂണിറ്റിലേയ്ക്ക് കൊണ്ടു വന്നിട്ട് വേണം ക്രീയ ചെയ്യാൻ.
അത് ഈ മേഖലയിലെ അടിസ്ഥാന പാഠമായതിനാൽ അത് മനപാഠമാക്കിയേ പറ്റൂ.

Km/hr നെ m/sec ആക്കാൻ 5/18 കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം.

m/Sec നെ km/hr ആക്കാൻ 18/5 കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം.

Km/hr നെ m/min ആക്കാൻ 50/3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം.

m/min നെ km/hr ആക്കാൻ 3/50 കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം.
ഒരെണ്ണം കൂടി...

m/min നെ m/Sec ആക്കാൻ 1/60 കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം.

m/Sec നെ m/min ആക്കാൻ 60 കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം.

ഇന്ന് എല്ലാവരും ഇത്രയും സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മനപാഠമാക്കണം. 

ചില പരിശീലന ചോദ്യങ്ങൾ ചെയ്യാം. അതിലൂടെ കൂടുതൽ മനസിലാക്കാം .

നന്ദി.

================================

#ഗണിതംമധുരം 

#ജോലിയുംസമയവും. പാർട്ട് - 7

പ്രിയമുള്ളവരേ.,

ജോലിയും സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്  മറ്റൊരു തരം ചോദ്യം പരിചയപ്പെടാം .ഇത്തരം ചോദ്യങ്ങൾ അടുത്ത കാലത്തായി PSC നിരന്തരം ചോദിക്കുന്നുണ്ട് എന്നതിനാൽ ,ഈ തരത്തിലുള്ള ചില വ്യത്യസ്ത ചോദ്യങ്ങൾ പരിചയപ്പെടുത്താം .

4 പുരുഷൻമാരും 6 സ്ത്രീകളും ചേർന്ന് ഒരു ജോലി 10 ദിവസങ്ങൾ കൊണ്ട് ചെയ്യും .20 കുട്ടികൾ അതേ ജോലി 5 ദിവസങ്ങൾ കൊണ്ട് ചെയ്താൽ ., 2 പുരുഷൻമാരും 2 സ്ത്രീകളും 4 കുട്ടികളും ചേർന്ന് ആ ജോലി എത്ര ദിവസം കൊണ്ട് ചെയ്യും. ?

ഇതാണ് ചോദ്യം. വളരെ എളുപ്പമാണ് ഇത് ചെയ്യാന്‍ . ഇത് ചെയ്യുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് നോക്കാം

 pscexamtips.blogspot.com

4 പുരുഷൻമാർ 10 ദിവസം ജോലി ചെയ്തു. ആകെ 10 x 4 = 40 ദിവസം

6 സ്ത്രീകൾ 10 ദിവസം ജോലി ചെയ്തു .ആകെ 10x 6 = 60 ദിവസം 

20 കുട്ടികൾ 5 ദിവസം ജോലി ചെയ്തു .ആകെ 20 x 5 = 100 ദിവസം

40,60,100 എന്നിവയുടെ ലസാഗു (LCM) കാണുക.

LCM = 600

ഇതാണ് ആകെ ജോലി എന്ന് മനസിലായിട്ടുണ്ടല്ലോ 

ഇനി ആണുങ്ങളുടെ ഒരു ദിവസത്തെ ജോലി കണ്ടെത്തുക

Male = 600/40 = 15

Women = 600/ 60 = 10

children = 600/100 = 6

ഇതാണ് ഓരോരുത്തരും ഒരു ദിവസം ചെയ്യുന്ന ജോലി.

ഇനി ചോദ്യത്തിൽ പറഞ്ഞ ദിവസങ്ങൾ നോക്കൂ 

പുരുഷൻമാർ 2 ദിവസം = 15 x 2 = 30

സ്ത്രീകൾ 2 ദിവസം = 10 x 2 = 20

കുട്ടികൾ 4 ദിവസം = 6 x 4 = 24 

ആകെ = 30 + 20 + 24 = 74

ഇതാണ് ഒരു ദിവസത്തെ ജോലി. ആകെ ജോലിയായ 600 (LCM) നെ 74 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ  ആകെ ജോലി ചെയ്യാനുള്ള ദിവസങ്ങൾ കിട്ടും .

600/ 74 = 81 ദിവസം 

മനസിലായോ ??

#ഗണിതംമധുരം 

#ജോലിയുംസമയവും. പാർട്ട് - 6

പ്രിയമുള്ളവരേ.,

ജോലിയും സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്  മറ്റൊരു തരം ചോദ്യം പരിചയപ്പെടാം .

12 പേർ 15 ദിവസം കൊണ്ട് 48 കളിപ്പാട്ടം നിർമ്മിക്കുന്നു . 20 പേർ 18 ദിവസം കൊണ്ട് എത്ര കളിപ്പാട്ടം നിർമ്മിക്കും ?

ഇതാണ് ചോദ്യം. വളരെ എളുപ്പമാണ് ഇത് ചെയ്യാന്‍ . ഇത് ചെയ്യുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് നോക്കാം

 pscexamtips.blogspot.com

ഈ സൂത്രവാക്യം പഠിക്കുക.

M1 D1 W2  = M2 D2 W1

(അതായത് M1x D1x W2  = M2 x D2 x W1)

ഇതിൽ

M = ആളുകൾ

D = ദിവസം

W = ജോലി

ഇനി ചോദ്യത്തിലേയ്ക്ക് സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കൂ..

12 x 15 x W2 = 20 x 18 x 48

ഇത്രയും മനസിലായോ ?

എങ്കിൽ ഇത് നിർദ്ധാരണം ചെയ്യൂ..

W2 = 20 x 18 x 48 

         ----------------------

               12x15

എന്ന് എഴുതാമല്ലോ .?

ഇനി ഇവ തമ്മിൽ ഗുണിച്ച് വല്യ സംഖ്യയാക്കി സങ്കീർണ്ണമാക്കാതെ പരമാവധി വെട്ടി ചെറുതാക്കുക.

അപ്പോൾ ഉത്തരം 96 എന്ന് ലഭിക്കും.

ചിലപ്പോൾ ഇതേ ചോദ്യത്തോടൊപ്പം ഒരു ദിവസം ചെയ്യുന്ന ജോലിയുടെ സമയവും തന്നേക്കാം. അത്തരം ചോദ്യം കണ്ട് പേടിക്കുകയൊന്നും വേണ്ട നമ്മുടെ ഈ സൂത്രവാക്യത്തോടൊപ്പം സമയം കൂടി ഉൾപ്പെടുത്തിയാൽ മതി. 

നോക്കൂ..

M1x D1x T1 x W2  = M2 x D2 x T2 x W1

മനസിലായോ ??

എല്ലാവര്‍ക്കും മനസ്സിലായെങ്കില്‍ ഈ കണക്കു ചെയ്യൂ.. 

16 പേർക്ക് ഒരു ദിവസം 7 മണിക്കൂർ വെച്ച് 48 ദിവസം കൊണ്ട് ഒരു പൂന്തോട്ടം നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയുന്നു. അങ്ങനെയെങ്കിൽ 14 പേർക്ക് 12 മണിക്കൂർ വച്ച് പൂന്തോട്ടം നിർമ്മിക്കാൻ എത്ര ദിവസം വേണം ??

#ഗണിതംമധുരം 

#ജോലിയുംസമയവും. പാർട്ട് - 5

പ്രിയമുള്ളവരേ.,

ജോലിയും സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്  മറ്റൊരു തരം ചോദ്യം പരിചയപ്പെടാം .

A യും Bയും ഒരു ജോലി 10 ദിവസം കൊണ്ട് തീർക്കും B യും C യും അത് 12 ദിവസം കൊണ്ടും c യും A യും അത് 15 ദിവസം കൊണ്ടും തീർക്കും. എന്നാൽ ABC എന്നിവർ ഒന്നിച്ച് ആ ജോലി എത്ര ദിവസം കൊണ്ട് തീർക്കും ??

ഇതാണ് ചോദ്യം. വളരെ എളുപ്പമാണ് ഇത് ചെയ്യാന്‍ . ഇത് ചെയ്യുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് നോക്കാം

 pscexamtips.blogspot.com

ആദ്യം 10, 12, 15 എന്നിവയുടെ LCM കാണുക

LCM = 60 ( ഇതാണ് ആകെ ജോലി )

ഇനി ഓരോരുത്തരുടേയും ഒരു ദിവസത്തെ ജോലി കാണുക.

A + B = 60/10 = 6

B + C = 60/12 = 5

A + C = 60/15 = 4

അതായത്

A+B+B+C+A+C = 6+5+ 4 ആണല്ലോ

2 (A+B+C) = 15 എന്ന് എഴുതാമല്ലോ ?

അപ്പോൾ A+B+C = 15/2 അല്ലേ ??

അതായത് ABC എന്നിവർ ചേർന്ന് ഒരു ദിവസം കൊണ്ട് ചെയ്യുന്ന ജോലി 15/2 ആണ്.

ആകെ ജോലി 60 ആണല്ലോ (LCM)

മൂന്ന് പേരും ചേർന്ന് ജോലി ചെയ്യാനെടുക്കുന്ന ദിവസം = 60/ (15/2) ആണല്ലോ 

120 / 15 എന്ന് കിട്ടും

ഉത്തരം = 8 

മനസിലായോ ??

എല്ലാവര്‍ക്കും മനസ്സിലായെങ്കില്‍ ഈ കണക്കു ചെയ്യൂ.. 

A യും Bയും ഒരു ജോലി 20 ദിവസം കൊണ്ട് തീർക്കും B യും C യും അത് 12 ദിവസം കൊണ്ടും c യും A യും അത് 15 ദിവസം കൊണ്ടും തീർക്കും. എന്നാൽ ABC എന്നിവർ ഒന്നിച്ച് ആ ജോലി എത്ര ദിവസം കൊണ്ട് തീർക്കും ??

#ഗണിതംമധുരം 

#ജോലിയുംസമയവും. പാർട്ട് - 4

പ്രിയമുള്ളവരേ.,

ജോലിയും സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്  മറ്റൊരു തരം ചോദ്യം പരിചയപ്പെടാം .

30 പേർ 8 ദിവസം കൊണ്ട് ചെയ്ത് തീർക്കുന്ന ജോലി 40 പേർ ചേർന്ന് എത്ര ദിവസം കൊണ്ട് ചെയ്ത് തീർക്കും ?

ഇതാണ് ചോദ്യം. വളരെ എളുപ്പമാണ് ഇത് ചെയ്യാന്‍ . ഇത് ചെയ്യുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് നോക്കാം

 pscexamtips.blogspot.com

ഈ സൂത്രവാക്യം നോക്കൂ... 

' A ' ആളുകൾ 'B ' ദിവസം കൊണ്ട് ചെയ്ത ജോലി 'C' ആളുകൾ ചേർന്ന് എത്ര ദിവസം കൊണ്ട് ചെയ്യും

സൂത്രവാക്യം

(A x B)/C ഇത്രേയുള്ളൂ

അതായത്

(30 x8)/40

= 240 / 40 = 6 ദിവസം

സിംപിളല്ലേ ??

ഇനി ചോദ്യം താഴെപ്പറയുന്ന പോലെയും വരാം.

' A ' ആളുകൾ 'B ' ദിവസം കൊണ്ട് ചെയ്ത ജോലി 'C' ദിവസം കൊണ്ട് ചെയ്യാൻ എത്ര ആളുകൾ വേണ്ടിവരും ? 

സൂത്രവാക്യം മുകളിലത്തേത് തന്നെയാണ് 

(A x B)/C 

മനസിലായോ ??

എല്ലാവര്‍ക്കും മനസ്സിലായെങ്കില്‍ ഈ കണക്കു ചെയ്യൂ.. 

15 പേർ 24 ദിവസം കൊണ്ട് ചെയ്ത് തീർക്കുന്ന ജോലി 18 ദിവസം കൊണ്ട് തീർക്കാൻ എത്ര പേർ വേണം ?

#ഗണിതംമധുരം 

#ജോലിയുംസമയവും. പാർട്ട് - 3

പ്രിയമുള്ളവരേ.,

ജോലിയും സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്  മറ്റൊരു തരം ചോദ്യം പരിചയപ്പെടാം .

A ഒറ്റയ്ക്ക് ഒരു ജോലി 20 ദിവസം കൊണ്ടും  B ആ ജോലി 30  ദിവസം കൊണ്ടു ചെയ്യും. ഇരുവരും കൂടി ആ ജോലി  5  ദിവസം ചെയ്ത ശേഷം A ജോലി നിർത്തിപ്പോയി. ബാക്കി ജോലി B ഒറ്റയ്ക്ക് ചെയ്തു തീർത്തുവെങ്കിൽ ആ ജോലി ചെയ്തു തീർക്കാൻ ആകെ എത്ര ദിവസം വേണം ?

ഇതാണ് ചോദ്യം. താരതമ്യേന വളരെ എളുപ്പമാണ് ഇത് ചെയ്യാന്‍ . ഇത് ചെയ്യുന്നതിന് ഞാൻ ഒരു പുതിയ രീതി പരിചയപ്പെടുത്താം. pscexamtips.blogspot.com

നോക്കൂ... 

20,30 എന്നിവയുടെ ല സാ ഗു (LCM) കാണുക. 

60  എന്ന് കിട്ടും . ഇതാണ് ആകെ ജോലി 

60/20 = 3

60/30 = 2

3+2 = 5 ഇതാണ് A യും Bയും ഒരു ദിവസം ചെയ്ത ജോലി. ഇങ്ങനെ അവർ 5 ദിവസം ഒന്നിച്ച് ജോലി ചെയ്തു അതായത് 5 x 5 = 25 ആകെ ജോലിയായ 60 ൽ നിന്നും 25 കുറയ്ക്കുക

65 - 25 = 35 ഇതാണ് ഇനി ശേഷിക്കുന്ന ജോലി

ഇത് B ഒറ്റയ്ക്കാണ് ഇനി ചെയ്യേണ്ടത്. B യുടെ ഒരു ദിവസത്തെ ജോലി 2 ആണെന്ന് കണ്ടു പിടിച്ചല്ലോ അപ്പോൾ ശേഷിക്കുന്ന 35 ജോലി ചെയ്യാൻ 35/2 = 17.5 ദിവസം B യ്ക്ക് വേണം.

മിച്ചമുള്ള ജോലി ചെയ്യാൻ B യ്ക്ക് എത്ര ദിവസം വേണമെന്ന് ചോദിച്ചാൽ ഇതാണ് ഉത്തരം (അങ്ങനേയും ചോദ്യം വരാറുണ്ട് )

ആദ്യം ചെയ്ത 5 ദിവസങ്ങൾ ഇതോടൊപ്പം കൂട്ടിയാൽ ആ ജോലി തീർക്കാൻ വേണ്ട ആകെ ദിവസങ്ങൾ കിട്ടും

17.5 + 5 = 22.5 

മനസിലായോ ??

എല്ലാവര്‍ക്കും മനസ്സിലായെങ്കില്‍ ഈ കണക്കു ചെയ്യൂ.. 

A ഒറ്റയ്ക്ക് ഒരു ജോലി 24 ദിവസം കൊണ്ടും  B ആ ജോലി 18  ദിവസം കൊണ്ടു ചെയ്യും.A ആ ജോലി  4  ദിവസം ചെയ്ത ശേഷം  ജോലി നിർത്തിപ്പോയി. ബാക്കി ജോലി B ഒറ്റയ്ക്ക് ചെയ്തു തീർക്കാൻ എത്ര ദിവസം വേണം ?

#ജോലിയുംസമയവും. പാർട്ട് 2

പ്രിയമുള്ളവരേ.,

ജോലിയും സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്  മറ്റൊരു തരം ചോദ്യം പരിചയപ്പെടാം .

A യും B യും കൂടി ഒരു ജോലി 6  ദിവസം കൊണ്ടു ചെയ്യും. ആ ജോലി  A 10 ദിവസം കൊണ്ടു  ചെയ്യുമെങ്കിൽ B അത് എത്ര ദിവസം കൊണ്ട് ചെയ്യും .? 

ഇതാണ് ചോദ്യം. താരതമ്യേന വളരെ എളുപ്പമാണ് ഇത് ചെയ്യാന്‍ . ഇത് ചെയ്യുന്നതിന് ഒരു സൂത്രവാക്യം ഉണ്ട്. ഒരുപക്ഷെ നിങ്ങള്‍ക്കൊക്കെ അതറിയുകയും ചെയ്യാം. പക്ഷെ ഞാന്‍ ഇന്ന് പരിചയപ്പെടുത്തുന്നത് മറ്റൊരു രീതിയാണ് . pscexamtips.blogspot.com

നോക്കൂ... 

10,6   എന്നിവയുടെ ല സാ ഗു (LCM) കാണുക. 

30  എന്ന് കിട്ടും . ഇതാണ് ആകെ ജോലി 

30/6 = 5

30/10 = 3

5-3 = 2

ഈ 2 കൊണ്ട് ലസാഗുവിനെ ഹരിക്കുക

30/2 = 15

ഉത്തരം : 15 ദിവസം

ഇനി സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചുള്ള രീതി നോക്കാം. 

ഇതാണ് സൂത്രവാക്യം 

XY/X-Y

(10x6)/ 10-6

= 60 / 4= 15

രണ്ടു രീതിയും മനസ്സിലായോ.??? ഏതാണ് നിങ്ങള്ക്ക് എളുപ്പം എന്നുവെച്ചാല്‍ അത് പിന്തുടരുക. 

എല്ലാവര്‍ക്കും മനസ്സിലായെങ്കില്‍ ഈ കണക്കു ചെയ്യൂ.. 

A യും B യും കൂടി ഒരു ജോലി 8 ദിവസം കൊണ്ടു ചെയ്യും. ആ ജോലി  A 10  ദിവസം കൊണ്ടു  ചെയ്യുമെങ്കിൽ B അത് എത്ര ദിവസം കൊണ്ട് ചെയ്യും .?

===========

#ജോലിയുംസമയവും. പാർട്ട് 1

പ്രിയമുള്ളവരേ.,

ഇനി നമുക്ക് PSC ഉറപ്പായും ചോദിക്കുന്ന ഒരു മേഖല പഠിക്കാം. ജോലിയും സമയവും എന്ന മേഖലയില്‍ നിന്നും വ്യത്യസ്തമായ ചോദ്യങ്ങള്‍ സ്ഥിരമായി ചോദിക്കാറുണ്ട്. അത്തരം ചോദ്യമെഖലകള്‍ മുഴുവനും നമ്മള്‍ ഇവിടെ ചര്‍ച്ച ചെയ്യും. ഏറ്റവും ലളിതമായ ഒരു മേഖലയില്‍ നിന്ന് തന്നെ ആദ്യം തുടങ്ങാം. 

A ഒരു ജോലി 10  ദിവസം കൊണ്ടും B അതെ ജോലി 15 ദിവസം കൊണ്ടും ചെയ്താല്‍ രണ്ടുപേരും കൂടി അതെ ജോലി എത്ര ദിവസം കൊണ്ട് ചെയ്യും .? 

ഇതാണ് ചോദ്യം. താരതമ്യേന വളരെ എളുപ്പമാണ് ഇത് ചെയ്യാന്‍ . ഇത് ചെയ്യുന്നതിന് ഒരു സൂത്രവാക്യം ഉണ്ട്. ഒരുപക്ഷെ നിങ്ങള്‍ക്കൊക്കെ അതറിയുകയും ചെയ്യാം. പക്ഷെ ഞാന്‍ ഇന്ന് പരിചയപ്പെടുത്തുന്നത് മറ്റൊരു രീതിയാണ് . pscexamtips.blogspot.com

നോക്കൂ... 

10, 15  എന്നിവയുടെ ല സാ ഗു (LCM) കാണുക. 

30  എന്ന് കിട്ടും . ഇതാണ് ആകെ ജോലി 

ഇനി ഈ 30  നെ A കൊണ്ടും B  കൊണ്ടും ഹരിക്കുക. 

3 എന്നും 2  എന്നും കിട്ടും .(ഒരു ദിവസത്തെ A യുടെയും B യുടെയും ജോലി ) അവ തമ്മില്‍ കൂട്ടുക. 

3+2 = 5 

ഈ കിട്ടിയ 5 കൊണ്ട് LCM  നെ ഹരിക്കുക 

30/5 = 6 

ഉത്തരം : 6 

ഇനി സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചുള്ള രീതി നോക്കാം. 

ഇതാണ് സൂത്രവാക്യം 

XY/X+Y

(10x15)/ 10+15

= 150 / 25 = 6 

രണ്ടു രീതിയും മനസ്സിലായോ.??? ഏതാണ് നിങ്ങള്ക്ക് എളുപ്പം എന്നുവെച്ചാല്‍ അത് പിന്തുടരുക. 

എല്ലാവര്‍ക്കും മനസ്സിലായെങ്കില്‍ ഈ കണക്കു ചെയ്യൂ.. 

A ഒരു ജോലി 6  ദിവസം കൊണ്ടും B അതെ ജോലി 3 ദിവസം കൊണ്ടും ചെയ്താല്‍ രണ്ടുപേരും കൂടി അതെ ജോലി എത്ര ദിവസം കൊണ്ട് ചെയ്യും .?

#കലണ്ടർ പാർട്ട് - 2

പ്രിയമുള്ളവരേ.,
രണ്ട് കാര്യങ്ങളാണ് ഈ ഭാഗത്ത് ഇനി പറയാൻ പോകുന്നത് . ശ്രദ്ധിച്ച് മനസിലാക്കുക.

കലണ്ടർ സംബന്ധിയായ കണക്കിൽ സാധാരണ ഗതിയിൽ ഉത്തരത്തിലേയ്ക്ക് എത്താൻ കഴിയുന്ന ഏതെങ്കിലും സൂചന ചോദ്യത്തിൽ ഉണ്ടാകാറുണ്ടല്ലോ ? എന്നാൽ ചില ചോദ്യങ്ങളിൽ അത്തരം സൂചനകൾ ഉണ്ടാകാറില്ല. അങ്ങനെ വന്നാൽ എങ്ങനെയാണ് ഉത്തരം കണ്ടെത്തുക എന്ന് നോക്കാം.

ഒരു ഉദാഹരണം :

1990 മാർച്ച് 2 ഏത് ദിവസമാണ് ?

എങ്ങനെ കണ്ടെത്തും ?

നോക്കൂ...

തന്നിരിക്കുന്ന വർഷത്തിന്റെ തൊട്ട് തലേ വർഷം എടുക്കുക.

1989

ഇതിനെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക . ശിഷ്ടം മറന്നേക്കുക .ഹരണ ഫലം മാത്രം എടുക്കുക.

497 കിട്ടും.

തന്നിരിക്കുന്ന വർഷത്തോടൊപ്പം അതായത് 1990 ന് ഒപ്പം ഇത് കൂട്ടുക. കൂടാതെ ജനുവരി 1 മുതൽ മാർച്ച് 2 വരെയുള്ള ദിവസങ്ങളും കൂട്ടുക
(ജനുവരി 31 + ഫെബ്രു. 28 + മാർച്ച് 2 = 61)

1990 + 497 + 61 = 2548 എന്ന് കിട്ടും.

ഇതിനെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക

2548/7
ശിഷ്ടം എത്ര കിട്ടുന്നു എന്ന് നോക്കുക. ശിഷ്ടം അനുസരിച്ച് താഴെപ്പറയുന്ന വിധം ദിവസം കണ്ടെത്താം.

0 = വെള്ളി
1 = ശനി
2 = ഞായർ
3 = തിങ്കൾ
4 = ചൊവ്വ
5 = ബുധൻ
6= വ്യാഴം

ഇവിടെ ശിഷ്ടം 0 ആയതിനാൽ ഉത്തരം #വെള്ളി

മനസിലായോ ??

ഇനി അടുത്ത കാര്യം:

എല്ലാ വർഷവും
മാർച്ച് - നവംബർ
ഏപ്രിൽ - ജൂലൈ
സെപ്റ്റംബർ - ഡിസംബർ

എന്നിവ ജോഡി മാസങ്ങൾ ആയിരിക്കും.

അതായത് മാർച്ചിലെ കലണ്ടർ നവംബറിലും ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് സാരം.
മാർച്ച് 5 ഞായർ ആണെങ്കിൽ
നവംബർ 5 ഉം ഞായർ ആയിരിക്കും.

മനസിലായല്ലോ ?

എങ്കിൽ ഈ കണക്ക് ചെയ്യൂ

1962 മാർച്ച് 25 ഏത് ദിവസമാണ് ?

#ഗണിതംമധുരം

#കലണ്ടര്‍ - ഭാഗം 1
🏅🏅🏅🏅🏅🏅🏅🏅🏅

പ്രിയമുള്ളവരേ,

ഇനി നമുക്ക് കലണ്ടര്‍ സംബന്ധിയായ ചില കണക്കുകള്‍ പഠിക്കാം.

കണക്കിലേക്ക് പോകുന്നതിനുമുമ്പ് ഇതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചില വസ്തുതകള്‍ ഒന്ന് ഓടിച്ചു നോക്കാം..

ഇംഗ്ലീഷ് കലണ്ടര്‍ അനുസരിച്ചുള്ള വര്‍ഷങ്ങളെ പൊതുവായി രണ്ടായി തിരിക്കാം

1. സാധാരണ വര്ഷം
2. അധിവര്‍ഷം

പ്രധാനമായും ഇത്രയും മനസ്സിലാക്കുക.

🔵സാധാരണ വര്‍ഷത്തില്‍ 365 ദിവസങ്ങളും അധി വര്‍ഷത്തില്‍ 366 ദിവസങ്ങളും ഉണ്ടായിരിക്കും.

🔵അധിവര്‍ഷത്തില്‍ ഫെബ്രുവരി മാസം 29 ദിവസങ്ങള്‍ ഉണ്ടായിരിക്കും.

🔵മൂന്നു സാധാരണ വര്‍ഷങ്ങള്‍ക്കു ശേഷം വരുന്ന വര്ഷം അധി വര്ഷം ആയിരിക്കും

പ്രധാനമായി ശ്രദ്ധിക്കുക. 
⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐

ഒരു സാധാരണ വര്‍ഷത്തില്‍ ജനുവരി 1 ഉം ഡിസംബര്‍ 31 ഉം ഒരേ ദിവസം തന്നെയായിരിക്കും.

ഉദാഹരണം : 2017 ജനുവരി 1 ഞായര്‍ ആണ്. 2017 ഡിസംബര്‍ 31 ഉം ഞായര്‍ തന്നെയായിരിക്കും .

അധി വര്‍ഷത്തില്‍ ജനുവരി 1 ന്‍റെ തൊട്ടടുത്ത ദിവസം ആയിരിക്കും ഡിസംബര്‍ 31

ഉദാഹരണം : 2000 ജനുവരി 1 ഞായര്‍ ആണ്. 2000 ഡിസംബര്‍ 31 ഉം തിങ്കള്‍ ആയിരിക്കും.

മനസ്സിലായോ.?

ഇത് പ്രധാനമായ കാര്യമാണ് . അതുകൊണ്ട് ഓര്‍മ്മയില്‍ സൂക്ഷിക്കുക.

ഇനി ഒരു വര്‍ഷം അധിവര്‍ഷമാണോ എന്ന് എങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കാം..??

സിമ്പിള്‍ ആണ്..

വര്‍ഷത്തെ 4 കൊണ്ട് നിശേഷം ഹരിക്കാന്‍ കഴിയുമെങ്കില്‍ അത് അധിവര്‍ഷമാണ് .

ഉദാഹരണം : 2016

ഇതിനെ 4 കൊണ്ട് നിശേഷം ഹരിക്കാം ( 2016/ 4 = 504)
അതിനാല്‍ ഇത് അധിവര്‍ഷം ആണ്.

ഇവിടെയും ഒരു കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കാന്‍ ഉണ്ട്.

വര്‍ഷം ഒരു നൂറ്റാണ്ട് ആണെങ്കില്‍( അതായത് 1000, 1200,1500,1900,2000 etc ) അവയെ 400 കൊണ്ട് നിശേഷം ഹരിക്കാന്‍ കഴിയുമെങ്കില്‍ മാത്രമേ അധി വര്‍ഷം ആകുകയുള്ളൂ...

ഉദാഹരണം : 1700

ഇതിനെ 4 കൊണ്ട് നിശേഷം ഹരിക്കാമെങ്കിലും 400 കൊണ്ട് നിശേഷം ഹരിക്കാന്‍ കഴിയാത്തത് കൊണ്ട് ഇത് അധിവര്‍ഷം അല്ല..

എന്നാല്‍ 2000 എന്നത് 400 കൊണ്ട് നിശേഷം ഹരിക്കാം എന്നതിനാല്‍ അധി വര്‍ഷം ആണ് താനും ..

പിടി കിട്ടുന്നുണ്ടോ.?

ഒരു പ്രധാന കാര്യം കൂടി....

🔵 400 കൊണ്ട് നിശേഷം ഹരിക്കാവുന്ന അധിവര്‍ഷങ്ങളുടെ ഡിസംബര്‍ 31 എല്ലായ്പ്പോഴും ഞായറാഴ്ച ആണ്..

ഇത്രയും ആമുഖമായി മനസ്സിലാക്കുക.

#ഗണിതംമധുരം

പ്രീയമുള്ളവരേ.,
ഇനി നമുക്ക് ചില ലളിതമായ കണക്കുകൾ പഠിക്കാം..
PSC സ്ഥിരമായി ചോദിക്കുന്ന മേഖലയാണ് ക്ലോക്കിലെ സമയത്തിന്റെ പ്രതിബിംബത്തിലെ സമയവും സൂചികൾ തമ്മിലുള്ള കോണളവും. രണ്ടും വളരെ സിമ്പിളാണ്.
ആദ്യം പ്രതിബിംബത്തിലെ സമയം കാണുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് പഠിക്കാം.

വെറും സിമ്പിൾ..!!

ദേ.., നോക്കൂ

തന്നിരിക്കുന്ന സമയത്തെ 11:60 ൽ നിന്നും കുറച്ചാൽ മതി =D

കഴിഞ്ഞു...

ഒരു കാര്യം മാത്രം ശ്രദ്ധിക്കണേ...
തന്നിരിക്കുന്ന സമയം 11 നും 1 നും ഇടയിലുള്ളതാണെങ്കിൽ 23:60 ൽ നിന്ന് വേണം കുറയ്ക്കാൻ...

ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കൂ..

ക്ലോക്കിലെ സമയം: 2:10 എങ്കിൽ കണ്ണാടിയിലെ പ്രതിബിംബത്തിൽ കാണുന്ന സമയമെത്ര ?
ഉത്തരം:

11:60 -
2:10
----------
9:50

കഴിഞ്ഞു. മനസിലായോ ? എങ്കിൽ 

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കൂ..

ക്ലോക്കിലെ സമയം: 12:30 എങ്കിൽ കണ്ണാടിയിലെ പ്രതിബിംബത്തിൽ കാണുന്ന സമയമെത്ര ?
ഉത്തരം:
( തന്നിരിക്കുന്ന സമയം 11 നും 1 നും ഇടയിലുള്ളതായതിനാൽ 23:60 ൽ നിന്ന് വേണം കുറയ്ക്കാൻ )

23:60 -
12:30
----------
11:30

ഇനി മറ്റൊരു എളുപ്പ വഴിയും ഉണ്ട്. തന്നിരിക്കുന്ന സമയം പേപ്പറിൽ അമർത്തി വരയ്ക്കുക .എന്നിട്ട് പേപ്പർ മറിച്ച് നോക്കിയാൽ അവിടെ തെളിഞ്ഞ് കാണുന്ന സമയമാകും പ്രതിബിംബത്തിലെ സമയം. വെറുതെ ഒരു രസത്തിന് അതു കൂടി പരീക്ഷിച്ച് നോക്കൂ....

ഓക്കെയല്ലേ... ?

ആണെങ്കിൽ ഈ കണക്ക് ചെയ്യൂ..

ഒരു ക്ലോക്കിലെ സമയം 4:30 ആയാൽ കണ്ണാടിയിലെ പ്രതിബിംബത്തിൽ കാണുന്ന സമയം എത്രയാണ് ??

**********************

#ഗണിതംമധുരം_കോണളവ്

പ്രീയമുള്ളവരേ.,
ഇന്നലത്തെ ക്ലാസ്സിന്റെ തുടർച്ചയായി നമുക്കിന്ന് ഒരു ക്ലോക്കിലെ സൂചികൾ തമ്മിലുള്ള കോണളവിനെ കുറിച്ച് പഠിക്കാം..

ഒരൽപം ശ്രദ്ധിച്ചാൽ വളരെ എളുപ്പത്തിൽ ഈ കണക്ക് മനസിലാക്കാം.

കണക്കിലേക്ക് കടക്കും മുൻപ് നേരത്തെ ക്ലാസുകളിൽ പറഞ്ഞ ചില കാര്യങ്ങൾ ഒന്ന് ഓർമ്മിപ്പിക്കാം.

🔴വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഒരു ക്ലോക്ക് 360° ആണെന്ന് അറിയാമല്ലോ 

🔴ഒരു ക്ലോക്കിനെ 60 തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നത് ശ്രദ്ധയിൽ പെട്ടിട്ടുണ്ടോ ?

    അതാണല്ലോ 60 മിനുട്ട് 

🔴അപ്പോൾ ഒരു മിനുട്ടിന്റെ കോണളവ് = 360/60 = 6 എന്ന് മനസിലായല്ലോ

🔴ഒരു മിനുട്ടിന്റെ കോണളവ് 6° ആണെങ്കിൽ 5 മിനുട്ടിന്റെ കോണളവ് 30° ആണെന്ന് 

    

     മനസിലായല്ലോ ..

ഇനി കോണളവിന്റെ കണക്കിലേക്ക് വരാം.

ഒരു ക്ലോക്കിലെ മിനുട്ട് സൂചിയും മണിക്കൂർ സൂചിയും തമ്മിലുള്ള കോണളവ് =

30 x മണിക്കൂർ - 5.5 x മിനുട്ട്
ഇത്രയുമേ ഉള്ളൂ.....

കഴിഞ്ഞു...

ഒരു കാര്യം മാത്രം ശ്രദ്ധിക്കണേ...
ഇങ്ങനെ ലഭിക്കുന്ന ഉത്തരം 180 നേക്കാൾ വലിയ സംഖ്യയാണെങ്കിൽ അതിനെ 360 ൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കണം . അതായിരിക്കും ഉത്തരം.

ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കൂ..

🔴സമയം 3.20 ആണെങ്കിൽ മിനുട്ട് സൂചിയും മണിക്കൂർ സൂചിയും തമ്മിലുള്ള കോണളവ് എത്രയാണ് ?

ഉത്തരം:

30 x മണിക്കൂർ - 5.5 x മിനുട്ട്

30 x 3 - 5.5 x 20

90 - 110 = - 20

ഉത്തരം നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണെന്നത് കാര്യമാക്കെണ്ട

കോണളവ് = 20°

കഴിഞ്ഞു. മനസിലായോ ? എങ്കിൽ 

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കൂ..

🔴സമയം 11.15 ആണെങ്കിൽ മിനുട്ട് സൂചിയും മണിക്കൂർ സൂചിയും തമ്മിലുള്ള കോണളവ് എത്രയാണ് ?

ഉത്തരം:

30 x മണിക്കൂർ - 5.5 x മിനുട്ട്

30 x 11 - 5.5 x 15

330 - 82.5 = 247.5

ഇവിടെ കിട്ടിയ സംഖ്യ 180 നേക്കാൾ കൂടുതൽ ആയതിനാൽ അതിനെ 360 ൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കണം 

360- 247.5 = 112.5 

കോണളവ് = 112.5°

എല്ലാവർക്കും മനസിലായല്ലോ ??

ഇനി മറ്റൊരു എളുപ്പ വഴിയും ഉണ്ട്. 

അത് അടുത്ത പോസ്റ്റിൽ പറയാം

ഓക്കെയല്ലേ... ?

ആണെങ്കിൽ ഈ കണക്ക് ചെയ്യൂ..

🔴സമയം 4.45 ആണെങ്കിൽ മിനുട്ട് സൂചിയും മണിക്കൂർ സൂചിയും തമ്മിലുള്ള കോണളവ് എത്രയാണ് ?

#Compound_Interest Part 2

പ്രിയമുള്ളവരേ,

കൂട്ടു പലിശ സാധാരണയായി വാർഷികമായാണ് കണക്കാക്കുന്നത്. എന്നാൽ ചില അവസരങ്ങളിൽ 6 മാസം കൂടുമ്പോൾ അതായത് അർദ്ധ വാർഷികമായും(Half yearly ) 3 മാസങ്ങൾ കൂടുമ്പോഴും ( പാദ വാർഷികം QuarterIy) കണക്കാക്കാറുണ്ട്. 

അങ്ങനെയുള്ള അവസരങ്ങളിൽ കൂട്ടു പലിശ കണക്കാക്കുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് പഠിക്കാം.

ചിത്രത്തിൽ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യം മനസിലാക്കുക.
കൂട്ടു പലിശ കണക്കാക്കുന്ന സൂത്രവാക്യത്തിൽ നിന്നും നേരിയ വ്യത്യാസം മാത്രമേ ഉള്ളൂ.

ഉദാ: ഒരാൾ 10000 രൂപ 10% നിരക്കിൽ അർദ്ധ വാർഷികമായി കൂട്ടു പലിശ കണക്കാക്കുന്ന ഒരു ബാങ്കിൽ നിക്ഷേപിക്കുന്നു. ഒരു വർഷം കഴിഞ്ഞ് അയാൾക്ക് എത്ര തുക തിരിച്ച് കിട്ടും. ?

A= P( 1 + R/200 )^ 2N

10000 X (1+10/200 )^ 2x 1
10000 x (210/200 )^ 2
10000 x 210/200 x 210/200
പൂജ്യങ്ങൾ തമ്മിൽ വെട്ടി ചെറുതാക്കുക.

210/2 x 210/2

105 x 105 = 11025

കൂട്ടുപലിശ മാത്രം = A - P
= 11025 - 10000 = 1025

പരിശീലന ചോദ്യത്തിലൂടെ കൂടുതൽ വ്യക്തമാക്കാം.

======================

#Compound_Interest Part 1

#കൂട്ടുപലിശ പാർട്ട് 1

പ്രീയമുള്ളവരേ..,

ഇനി നമുക്ക് കൂട്ടു പലിശയെ കുറിച്ച് പഠിക്കാം...

എന്താണ് #കൂട്ടുപലിശ ?

സാധാരണ പലിശയിൽ മുതലിന് മാറ്റം വരുന്നില്ല. എന്നാൽ കൂട്ടുപലിശയിൽ ഓരോ വർഷവും മുതലിനോടൊപ്പം പലിശയും കൂടി ചേർത്ത് അടുത്ത വർഷത്തെ മുതലായി കണക്കാക്കുന്നു.
കൂട്ടു പലിശ കാണക്കാക്കുന്നത് വളരെ ലളിതമാണ്.

ചിത്രം ശ്രദ്ധിക്കുക. സൂത്രവാക്യം മനപാഠമാക്കുക.

ഇവിടെ A എന്നത് മുതലും കൂട്ടു പലിശയും ചേർന്ന തുകയാണ് .

കൂട്ടു പലിശ മാത്രമാണ് കാണേണ്ടതെങ്കിൽ A യിൽ നിന്നും മുതൽ അഥവാ P കുറച്ചാൽ മതി.
അതായത് കൂട്ടു പലിശ = A- P

ഇനി നമുക്ക് ഒരു ചെറിയ ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഒരാൾ 10 % കൂട്ടുപലിശ കണക്കാക്കുന്ന ബാങ്കിൽ 5000 രൂപ നിക്ഷേപിക്കുന്നു. 2 വർഷം കഴിയുമ്പോൾ എത്ര രൂപ തിരികെ ലഭിക്കും ?

ആദ്യം.,
സൂത്രവാക്യം എടുത്തെഴുതുക.

A = P ( 1 + R/ 100)^N

P= 5000
R= 10
N= 2

5000 (1+10/100)^ 2

ഇവിടെ മനസിലാക്കുക..

1 + (10/100 ) എന്നാൽ 110/100 എന്നാണ്.

ഇനി സൂത്രവാക്യത്തിലേക്ക് വരാം..

5000 x (110/100)^2

അതായത്

5000 x (110/100) x (110/100)

പൂജ്യങ്ങൾ തമ്മിൽ വെട്ടി ചെറുതാക്കി ക്രിയ എളുപ്പത്തിലാക്കുക.
അപ്പോൾ ഇങ്ങനെ ലഭിക്കും .

50 x 11 x 11 = 6050

ഇതാണ് ആകെ ലഭിക്കുന്ന തുക .അതായത് A, അതായത് മുതലും കൂട്ടുപലിശയും ചേർന്ന തുക.

ഇതിൽ നിന്നും കൂട്ടു പലിശ മാത്രം കാണാൻ മുതൽ (P) കുറച്ചാൽ മതി.

കൂട്ടുപലിശ = A- P
= 6050 - 5000 = 1050

മനസ്സിലാകുന്നുണ്ടോ.. കൂടുതൽ പരിശീലന ചോദ്യങ്ങളിലൂടെ വ്യക്തത വരുത്താം.

*******************

#SimpleInterest Part 5

പ്രീയമുള്ളവരേ,

സാധാരണ പലിശയിലെ ഒരു ചോദ്യമേഖല കൂടി പരിചയപ്പെടാം.

ചിത്രം ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഇനി ഈ ഉദാഹരണം നോക്കൂ...

ഒരു നിശ്ചിത തുകയ്ക്ക് 5 % പലിശ നിരക്കിൽ 10 വർഷത്തേക്ക് 1200 രൂപ പലിശ ലഭിച്ചാൽ 5 വർഷത്തേക്ക് 10% നിരക്കിൽ എത്ര പലിശ കിട്ടും ??

ഉത്തരം വേഗം പറഞ്ഞേ.......

******************************

#Simple Interest Part - 4

പ്രിയമുള്ളവരേ,
സാധാരണ പലിശയിൽ മറ്റൊരു മേഖല കൂടി നോക്കാം.
ചിത്രം ശ്രദ്ധിക്കുക.

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മനപാഠം ആക്കണ്ട, മനസിലാക്കിയാൽ മാത്രം മതി.

ഒരു നിശ്ചിത തുക N വർഷം കൊണ്ട് ഇരട്ടിയാകുന്നു എങ്കിൽ പലിശ നിരക്ക് 

R = 100/N 
ഉദാ: ഒരു നിശ്ചിത തുക 5 വർഷം കൊണ്ട് ഇരട്ടിയായാൽ പലിശ നിരക്ക് എത്ര ?

R= 100/N
= 100/5 = 20 %

എളുപ്പമല്ലേ.?

ഇനി ഇത് നോക്കൂ..

ഒരു നിശ്ചിത തുക R ശതമാനം നിരക്കിൽ ഇരട്ടിയാകാൻ എടുക്കുന്ന വർഷം

N= 100/R
ഉദാ: : ഒരു നിശ്ചിത തുക 10% പലിശ നിരക്കിൽ ഇരട്ടിയായാകാൻ എത്ര വർഷം വേണം ?

N= 100 /R
= 100/ 10 = 10 വർഷം 

ഓക്കെയല്ലേ... =D 
മൂന്നിരട്ടിയാകാനും 4 ഇരട്ടിയാകാനും സൂത്രവാക്യത്തിൽ വരുന്ന മാറ്റം ശ്രദ്ധയോടെ മനസിലാക്കുക.

===========================

#സാധാരണപലിശ പാർട്ട് 3

പ്രീയമുള്ളവരേ,

നമ്മൾ പലിശ കാണാൻ പഠിച്ചു.

സൂത്രവാക്യം അറിയാമല്ലോ ?

I= (PNR) / 100

I   = Interest അഥവാ പലിശ
P  = Principal അഥവാ മുതൽ 
N  = No.of years അഥവാ കാലാവധി
R  = Rate അഥവാ പലിശനിരക്ക്

ഇവയിൽ ഏതെങ്കിലും 3 എണ്ണം തന്നിട്ട് നാലാമത്തേത് കാണാൻ ആവശ്യപ്പെട്ടേക്കാം.

ചിത്രം നോക്കൂ...
എത്രയോ ലളിതമാണ് ..

ഫോർമുലയിലെ സാമ്യം ശ്രദ്ധിക്കുക.
എല്ലാത്തിന്റേയും അംശം ആയി വരുന്നത്

I x 100 ആണ്.
തന്നിരിക്കുന്ന 3 വസ്തുതകളിൽ പലിശ (I) X 100 ആണ് അംശം . ശേഷിക്കുന്ന രണ്ടെണ്ണം തമ്മിൽ ഗുണിച്ച് ഛേദമാക്കിയാൽ ഫോർമുല കാണാതെ പഠിക്കാതെ തന്നെ ഓർത്തു വയ്ക്കാം.

മനസിലാകുന്നുണ്ടോ ??

പരിശീലന ചോദ്യത്തിലൂടെ കൂടുതൽ മനസിലാക്കാം

==========================

സാധാരണ പലിശ - പാർട്ട് 2

പ്രീയമുള്ളവരേ.,
സാധാരണ പലിശ കണക്കാക്കുന്നത് പ്രതിവർഷം എന്ന കണക്കിലാണ്.

അതായത് 12 മാസത്തേക്ക് ...
അതായത് 365 ദിവസത്തേക്ക്.

ചിലപ്പോൾ മാസക്കണക്കിലോ ദിവസക്കണക്കിലോ ചോദ്യം വരാം.

മാസക്കണക്കിൽ വന്നാൽ N ന്റ സ്ഥാനത്ത് ആ മാസം / 12 എന്ന് വരും.

ഉദാഹരണം:

മുതൽ 8000
നിരക്ക് 10%
കാലാവധി 9 മാസം
പലിശ കാണുക.

I = (PNR) / 100
= ( 8000 x (9/12) x 10) /100
= 800 x 9/12
= 600

ദിവസമാണെങ്കിൽ
N= ദിവസം / 365

ഇനി കണക്ക് ചെയ്തു നോക്കൂ..

===================

പ്രീയമുള്ളവരേ.,
ഇനി നമുക്ക് ഗണിതത്തിലെ മറ്റൊരു മേഖലയായ #പലിശയിലേയ്ക്ക് കടക്കാം.

പലിശ പൊതുവെ രണ്ട് തരത്തിൽ ഉണ്ട്.

സാധാരണ പലിശ - Simple Interest
കൂട്ടു പലിശ - Compound Interest

നമുക്ക് ഇന്ന് സാധാരണ പലിശയെ കുറിച്ച് പഠിക്കാം.

ചിത്രത്തിലേയ്ക്ക് ശ്രദ്ധിക്കുക.
സാധാരണ പലിശ കാണാനുള്ള സൂത്രവാക്യമാണത്

ഇവിടെ I എന്നത് ആണ് പലിശയെ അഥവാ Interest നെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

P = Principal അഥവാ നിക്ഷേപിച്ച തുക .
N= എത്ര വർഷത്തേക്കാണ് നിക്ഷേപിച്ചതെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
R = പലിശ നിരക്ക് ആണ് .

സാധാരണ പലിശയെ സംബന്ധിച്ച് നിക്ഷേപിക്കുന്ന തുകയ്ക്ക് എല്ലാ വർഷവും ഒരേ പലിശ തന്നെയായിരിക്കും.

ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്. ഈ സൂത്രവാക്യം മനസിലാക്കിയാൽ എളുപ്പത്തിൽ ഉത്തരം കണ്ടെത്താം.

ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കൂ

ഒരാൾ 10000 രൂപ 6 % നിരക്കിൽ സാധാരണ പലിശ നൽകുന്ന ബാങ്കിൽ നിക്ഷേപിച്ചാൽ 2 വർഷം കൊണ്ട് എത്ര രൂപ പലിശലഭിക്കും ?

ഫോർമുല I = (PNR) / 100

P = നിക്ഷേപിച്ച തുക = 10000
N= വർഷം = 2
R= പലിശ നിരക്ക് = 6

പലിശ അഥവാ, I = (10000 x 2 x 6 ) / 100

= 120000 / 100 = 1200

ഇത്രേയുള്ളൂ...

എല്ലാർക്കും മനസിലായോ ??

=====================

#ഗണിതംമധുരം

#ദിക്കുകൾ പാര്‍ട്ട്‌ 4

പ്രിയമുള്ളവരേ,
ഈ മേഖലയിലെ മറ്റൊരു തരം ചോദ്യം കൂടി പരിചയപ്പെടാം.
🔴🔴🔴🔴🔴🔴🔴🔴🔴🔴🔴🔴🔴

ഒരാൾ ഏതെങ്കിലും ഒരു ദിശയിലേയ്ക്ക് യാത്ര ആരംഭിച്ച ശേഷം പല തവണ ഇടത്തോടും വലത്തോട്ടും തിരിഞ്ഞ് യാത്ര ചെയ്തെന്ന് കരുതുക.
ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും ഉള്ള തിരിവുകളുടെ എണ്ണം തുല്യമാണെങ്കിൽ അയാൾ യാത്ര തുടങ്ങിയ അതേ ദിശയിലായിരിക്കും അവസാനവും .

🔴🔴🔴🔴🔴🔴🔴🔴🔴🔴🔴🔴🔴

മനസിലായല്ലോ അല്ലേ ??

#ഗണിതംമധുരം പാർട്ട് 3

ഒന്നും പറയുന്നില്ല ചിത്രം നോക്കി മനസ്സിലാക്കിയാൽ മതി ..

ഒക്കെയല്ലേ ........??

==============

#ഗണിതംമധുരം

#ദിക്കുകൾ_ദിശകൾ പാർട്ട് 2

പ്രീയമുള്ളവരേ,
ഈ മേഖലയിൽ പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ദൂരം കണ്ടുപിടിക്കുന്ന തരത്തിലുള്ള കണക്കുകൾ വരാറുണ്ട്.

എന്താണ് #പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയിൽ ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങളുടെയും ബന്ധങ്ങൾ വിശദീകരിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു സിദ്ധാന്തമാണ്‌ പൈത്തഗോറസ് സിദ്ധാന്തം. ഇത് കണ്ടുപിടിക്കുകയും തെളിയിക്കുകയും ചെയ്ത ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായിരുന്ന് പൈത്തഗോറസിന്റെ പേരിലാണ്‌ ഇത് അറിയപ്പെടുന്നത്. 

ഈ സിദ്ധാന്തം പറയുന്നതിങ്ങനെയാണ്‌:

ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിലെ കർണ്ണത്തിന്റെ വർഗ്ഗം അതിന്റെ പാദത്തിന്റെയും, ലംബത്തിന്റെയും വർഗ്ഗത്തിന്റെ തുകക്കു തുല്യമായിരിക്കും
ഈ ചിത്രത്തിലെ ത്രികോണത്തിന്റെ കർണ്ണം c യും a യും b യും മറ്റു രണ്ടു വശങ്ങളും ആണ്‌. ഈ സിദ്ധാന്തം ചിത്രത്തിൽ പറയുന്ന സൂത്രവാക്യം പ്രകാരം വിശദീകരിക്കാം.

പരിശീലന ചോദ്യത്തിലൂടെ ഈ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് കണക്ക് ചെയ്യുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് കൂടുതലായി മനസിലാക്കാം.

---------------------

പ്രീയമുള്ളവരേ,
#ഗണിതംമധുരം പരിശീലന പരിപാടിയിൽ മാനസിക ശേഷി വിഭാഗത്തിലുള്ള 
#ദിക്കുകളേയുംദിശകളേയും
കുറിച്ച് ഇനി നമുക്ക് പഠിക്കാം...

ആദ്യം വേണ്ടത് ചോദ്യത്തെ ചിത്ര രൂപത്തിൽ വരയ്ക്കാൻ പഠിക്കുക എന്നതാണ് .

അതിന് ആദ്യം ചിത്രത്തിൽ കാണുന്ന പോലെ വരച്ച് ദിക്ക് അടയാളപ്പെടുത്തണം.

ശേഷം ചോദ്യത്തിൽ പറഞ്ഞത് പോലെ വരച്ച് തുടങ്ങണം.

തുടക്കം എപ്പോഴും സെന്റർ പോയിന്റിൽ നിന്നായിരിക്കണം.

ഇനി ശ്രദ്ധിക്കാനുള്ളത് ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും തിരിയുന്നത് മനസിലാക്കുക എന്നതാണ് .

സിംപിളാണ്.

വരച്ച് വന്നിരിക്കുന്ന ഡയറക്ഷൻ നേരേ മുകളിലേയ്ക്ക് വരത്തക വിധം പേപ്പർ തിരിക്കുക.
ശേഷം ഇടത്തേക്ക് തിരിയാനാണ് പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതെങ്കിൽ ഇടത്തേ കയ്യുടെ വശത്തേക്ക് വരയ്ക്കുക.
വലത്തേക്ക് തിരിയാനാണ് പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതെങ്കിൽ വലത്തേ കയ്യുടെ വശത്തേക്ക് വരയ്ക്കുക.

മനസിലായോ ?
നമുക്കൊന്ന് ശ്രമിച്ച് നോക്കാം...

എന്താ എല്ലാരും റെഡിയല്ലേ ??

********************

#ശരാശരി

പാർട്ട് - 7

ഒരു കുഞ്ഞു കാര്യം കൂടി പഠിക്കാം.

ആദ്യത്തെ ' n ' എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ശരാശരി = (n+1) / 2

n = സംഖ്യയുടെ എണ്ണം.

ഉദാ: 1 മുതൽ 75 വരെയുള്ള എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ശരാശരി ?

n= 75
ശരാശരി = (75+1 ) / 2
= 76/2 = 38
🔴🔴🔴🔴🔴🔴🔴🔴🔴

ആദ്യത്തെ ' n ' ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ ശരാശരി = n തന്നെയായിരിക്കും.

n = സംഖ്യയുടെ എണ്ണം.

ഉദാ: ആദ്യത്തെ 60 ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ ശരാശരി ?

n= 60
ശരാശരി = 60 തന്നെ 

🔴🔴🔴🔴🔴🔴🔴🔴🔴

ആദ്യത്തെ ' n ' ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ ശരാശരി = n+1

n = സംഖ്യയുടെ എണ്ണം.

ഉദാ: 100 വരെയുള്ള എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ശരാശരി ?

n= 50 ( നൂറ് വരെ 50 ഇരട്ട സംഖ്യകളും 50 ഒറ്റസംഖ്യകളുമാണ് ഉള്ളത്)

ശരാശരി = 50+1 
= 51

എല്ലാവർക്കും മനസിലായല്ലോ അല്ലേ ??

===============================

ശരാശരി
പാർട്ട് - 6

പ്രീയമുള്ളവരേ,
ശരാശരിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു പുതിയ കണക്ക് പഠിക്കാം.

ഈ ഉദാഹരണം നോക്കൂ...

ഒരു ക്ലാസ്സിലെ 30 വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഇംഗ്ലീഷിന് കിട്ടിയ മാർക്കിന്റെ ശരാശരി 25 ആണ്.
26 മാർക്ക് കിട്ടിയ ഒരു കുട്ടിയുടെ മാർക്ക് 36 എന്ന് തെറ്റായി രേഖപ്പെടുത്തിയത് പിന്നീട് കണ്ടെത്തുകയും അത് തിരുത്തുകയും ചെയ്തെങ്കിൽ പുതിയ ശരാശരി എത്രയാണ്. ?

ഈ കണക്ക് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് നോക്കാം.

30 കുട്ടികളുടെ ശരാശരി മാർക്ക് 25.
അതിനർത്ഥം 30 കുട്ടികൾക്കും കൂടി ലഭിച്ച മാർക്ക് = 30 x 25 = 750 എന്നാണല്ലോ

ഇനി ഇതിൽ നിന്നും തെറ്റായി രേഖപ്പെടുത്തിയ 36 മാർക്ക് കുറയ്ക്കുക

750 - 36 = 714

ഇനി ആ കുട്ടിയുടെ ശരിയായ മാർക്കായ 26 കൂട്ടുക.

714 + 26 = 740

ഇനി ശരാശരി കാണാൻ ആകെ മാർക്കിനെ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

740/ 30 = 24.66 എന്ന് കിട്ടും.

ഇതാണ് യഥാർത്ഥ ശരാശരി.

മനസ്സിലായോ ??

======================================

#ശരാശരി

പാർട്ട് 5

ശരാശരിയിലെ മറ്റൊരു തരം കണക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം.

ഒരു ശരാശരിയിലെ സംഖ്യയിൽ നിന്നും ഒരു സംഖ്യ മാറ്റി മറ്റൊരു സംഖ്യ ഉൾപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ശരാശരിയിൽ വന്ന മാറ്റവും പുതുതായി ഉൾപ്പെടുത്തിയ സംഖ്യയും കാണുന്ന വിധമാണ് അത്.

ഉദാഹരണ സഹിതം മനസ്സിലാക്കാം.

11 പേരുള്ള ഒരു ക്രിക്കറ്റ് ടീമിലെ കളിക്കാരുടെ വയസ്സിന്റെ ശരാശരി 24 ആണ്. ഇതിൽ നിന്നും 29 വയസ്സുള്ള ഒരാൾ വിരമിച്ചു. ആ സ്ഥാനത്തേക്ക് മറ്റൊരാൾ വന്നപ്പോൾ ശരാശരി പ്രായം 1 വയസ്സ് കൂടി എങ്കിൽ പുതിയതായി ടീമിലെത്തിയ കളിക്കാരന്റെ പ്രായം എത്രയാണ് ?

സൂത്രവാക്യം = y + ( n x d )

y = വിരമിച്ച ആളിന്റെ വയസ്സ്

n = ടീം അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം

d = വർദ്ദിച്ച ശരാശരി

ഇനി ഇത് ചോദ്യത്തിൽ പ്രയോഗിക്കാം.

y = 29 n = 11 d = 1

y + ( n x d )

29 + (11 x 1)
29 + 11 = 40 വയസ്സ് .

മനസിലായോ

ഇനി അടുത്തത് '

11 പേരുള്ള ഒരു ക്രിക്കറ്റ് ടീമിലെ കളിക്കാരുടെ വയസ്സിന്റെ ശരാശരി 24 ആണ്. ഇതിൽ നിന്നും 29 വയസ്സുള്ള ഒരാൾ വിരമിച്ചു. ആ സ്ഥാനത്തേക്ക് മറ്റൊരാൾ വന്നപ്പോൾ ശരാശരി പ്രായം 1 വയസ്സ് #കുറഞ്ഞു എങ്കിൽ പുതിയതായി ടീമിലെത്തിയ കളിക്കാരന്റെ പ്രായം എത്രയാണ് ?

സൂത്രവാക്യം = y - ( n x d )

y = വിരമിച്ച ആളിന്റെ വയസ്സ്

n = ടീം അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം

d = കുറഞ്ഞ ശരാശരി

ഇനി ഇത് ചോദ്യത്തിൽ പ്രയോഗിക്കാം.

y = 29 n = 11 d = 1

y - ( n x d )

29 - (11 x 1)
29 - 11 = 18 വയസ്സ് .

എല്ലാവർക്കും മനസിലായോ ആവോ ??

ഇല്ലല്ലേ =D

പരിശീലന ചോദ്യത്തിലൂടെ നമുക്ക് ശരിയാക്കാം

#ശരാശരി

പാർട്ട് 4

പ്രിയമുള്ളവരെ ,
ശരാശരിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചോദ്യങ്ങളിൽ സ്ഥിരമായി കാണുന്ന ഒന്നാണ് ഇനി പറയുന്നത്.
അതായത്.
സംഖ്യകളുടെ എണ്ണവും ശരാശരിയും തന്ന ശേഷം അതിലെ ഓരോ സംഖ്യയോടും ഒരു പ്രത്യേക സംഖ്യ കൂട്ടിയാൽ പുതിയ ശരാശരി എത്ര എന്ന ചോദ്യം കണ്ടിട്ടുണ്ടാകുമല്ലോ.

ഉത്തരം കണ്ടു പിടിക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്.

പുതിയ ശരാശരി = പഴയ ശരാശരി + കൂട്ടുന്ന സംഖ്യ.

കുറയ്ക്കാൻ വന്നാൽ

പുതിയ ശരാശരി = പഴയ ശരാശരി - കുറയ്ക്കുന്ന സംഖ്യ.

ഉദാഹരണം ചെയ്യാം..

ഒരു ക്ലാസ്സിലെ 10 കുട്ടികളുടെ കണക്കിന്റെ ശരാശരി മാർക്ക് 25 ആണ്. എല്ലാവർക്കും 2 മാർക്ക് വീതം അധികമായി നൽകിയാൽ പുതിയ ശരാശരി എത്രയാണ്.

പുതിയ ശരാശരി = പഴയ ശരാശരി + പുതിയതായി കൂട്ടുന്ന സംഖ്യ.

അതായത്

25 + 2 = 27

മനസ്സിലായോ ??

#ശരാശരി

പാർട്ട് 3

ഒരു സംഖ്യയുടെ തുർച്ചയായ ഗുണിത ങ്ങളുടെ ശരാശരി അവയുടെ മധ്യത്തിലുള്ള സംഖ്യയായിരിക്കും.

ഈ ഉദാഹരണം നോക്കിക്കേ

4,8,12,16,20,24,28 എന്നിവയുടെ ശരാശരി കാണുക.

ഇത് 4 ന്റെ തുടർച്ചയായ ഗുണിതങ്ങളാണ് ഇവയുടെ ശരാശരി സംഖ്യകളുടെ മധ്യത്തിലുള്ള സംഖ്യയായിരിക്കും.

അതായത്
ശരാശരി = 16

മനസിലായോ ?

ഇനി മധ്യത്തിൽ ഒരു പ്രത്യേക സംഖ്യയില്ലെങ്കിൽ മധ്യത്തിലുള്ള രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ പകുതിയായിരിക്കും ശരാശരി .

അതായത്

4, 8, 12, 16, 20, 24 എന്നിവയുടെ ശരാശരി കാണാൻ മധ്യത്തിലുള്ള രണ്ട് സംഖ്യകൾ തമ്മിൽ കൂട്ടി പകുതി എടുക്കുക.

അതായത്

12 + 16 = 28

അതിന്റെ പകുതി 14 ആയിരിക്കും ശരാശരി .

പുരിഞ്ചിതാ ??

#ശരാശരി

പാർട്ട് 2

ശരാശരി കാണുന്ന വിധം കഴിഞ്ഞ പോസ്റ്റിൽ പഠിച്ചല്ലോ ...

ഇനി ശരാശരിയും എണ്ണവും തന്നാൽ തുക കണ്ടു പിടിക്കുന്നതെങ്ങനെ എന്ന് നോക്കാം.

തുക = ശരാശരി x എണ്ണം.

ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കൂ...

ഒരു ക്ലാസ്സിലെ 5 വിദ്യാർത്ഥികളുടെ കണക്കിന്റെ ശരാശരി മാർക്ക് 24 ആണെങ്കിൽ അവർക്ക് എല്ലാവർക്കും കൂടി കണക്കിന് ലഭിച്ച ആകെ മാർക്ക് എത്രയാണ് ?

ആകെ മാർക്ക് = ശരാശരി x എണ്ണം

ശരാശരി = 24
എണ്ണം = 5 വിദ്യാർത്ഥികൾ

ആകെ മാർക്ക് = 24 X 5 = 120

ഓക്കെയല്ലേ ???

=D =D =D

പ്രിയമുള്ളവരേ,

നമുക്ക് ഇനി ഗണിത ക്രിയകളിലേയ്ക്ക് കടക്കാം.

ഇന്ന് പരിചയപ്പെടുത്തുന്നത് ശരാശരി കാണുന്നത് എങ്ങനെയെന്നാണ്. പലരേയും കുഴയ്ക്കുന്ന ഒരു മേഖലയാണിത്. എന്നാൽ വളരെ ലളിതവും കൗതുകവുമാണ് ശരാശരിയെ കുറിച്ചുള്ള പഠനം.

എന്താണ് ശരാശരി ?

ഏറ്റവും ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ രണ്ടോ അതിലധികമോ സംഖ്യകളുടെ തുകയെ എണ്ണം കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോൾ കിട്ടുന്ന ഉത്തരമാണ് ശരാശരി. അഥവാ Average .

ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

6, 8,14, 9, 11, 12 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ശരാശരി കാണുക.

ശരാശരി = ആകെ തുക / എണ്ണം

അതായത്

തുക = 6+8+14+9+11+12 = 60
എണ്ണം = ചോദ്യത്തിൽ തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ എണ്ണുക = 6 സംഖ്യകൾ

ശരാശരി = 60/ 6 = 10

മനസിലായോ ?

പ്രീയമുള്ളവരേ,
ഇന്ന് നമുക്ക് ദശാംശ സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗമൂലം കാണുന്നത് പഠിക്കാം.

സിമ്പിളാണ് =D

ദശാംശ സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗമൂലം കാണാനായി സാധാരണ സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗമൂലം കാണുന്നത് പോലെ കണക്കാക്കി സംഖ്യയിലുള്ള ദശാംശ സ്ഥാനത്തിന്റെ #പകുതി ദശാംശ സ്ഥാനം വർഗമൂലത്തിൽ വലത്ത് നിന്നും ഇടത്തേക്ക് മാറ്റി ദശാംശ ബിന്ദു ഇടുക.
അത്രേയുള്ളൂ

ഉദാഹരണം നോക്കുക.

6.25 ന്റെ വർഗ്ഗമൂലം കാണുക.
ദശാംശ സംഖ്യ ഒഴിവാക്കി വർഗ്ഗമൂലം കാണുക. അപ്പോൾ 25 എന്ന് കിട്ടും. സംഖ്യയിൽ രണ്ട് ദശാംശ സ്ഥാനമാണുള്ളത് അപ്പോൾ ഉത്തരത്തിൽ അതിന്റെ പകുതി ദശാംശ സ്ഥാനം മതി .
അതായത് ഉത്തരമായ 25 ന്റെ വലത് നിന്നും ഇടത്തേക്ക് ഒരു സ്ഥാനം മാറ്റി ദശാംശ സംഖ്യയിടുക.
അതായത്

2.5 എന്ന് ഉത്തരം കിട്ടും.

മനസിലായെങ്കിൽ ഈ പരിശീലന ചോദ്യം ചെയ്യൂ

വർഗ്ഗമൂലം കാണുക.

0.0441

പ്രീയമുള്ളവരേ,
ഇന്ന് നമുക്ക് ദശാംശ സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗ വും വർഗ്ഗമൂലവും കാണുന്നത് പഠിക്കാം.
ആദ്യം വർഗ്ഗം .

ദശാംശ സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗം കാണാനായി സാധാരണ സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗം കാണുന്നത് പോലെ കണക്കാക്കി സംഖ്യയിലുള്ള ദശാംശ സ്ഥാനത്തിന്റെ ഇരട്ടി ദശാംശ സ്ഥാനം വർഗ്ഗത്തിൽ വലത്ത് നിന്നും ഇടത്തേക്ക് മാറ്റി ദശാംശ ബിന്ദു ഇടുക.
അത്രേയുള്ളൂ

ഉദാഹരണം നോക്കുക.

0.4 ന്റെ വർഗ്ഗം കാണുക.
ദശാംശ സംഖ്യ ഒഴിവാക്കി വർഗ്ഗം കാണുക. അപ്പോൾ 16 എന്ന് കിട്ടും. സംഖ്യയിൽ ഒരു ദശാംശ സ്ഥാനമാണുള്ളത് അപ്പോൾ ഉത്തരത്തിൽ അതിന്റെ ഇരട്ടി ദശാംശ സ്ഥാനം വേണം.
അതായത് ഉത്തരമായ 16ന്റെ വലത് നിന്നും ഇടത്തേക്ക് രണ്ട് സ്ഥാനം മാറ്റി ദശാംശ സംഖ്യയിടുക.
അതായത്

0.16 എന്ന് ഉത്തരം കിട്ടും.

മനസിലായെങ്കിൽ ഈ പരിശീലന ചോദ്യം ചെയ്യൂ

വർഗ്ഗം കാണുക.

0.05

പ്രീയമുള്ളവരേ,
ഇന്ന് നമുക്ക് ദശാംശ സംഖ്യകളുടെ ഹരണ ക്രിയ ചെയ്യുന്നത് പഠിക്കാം.
വളരെ എളുപ്പമാണ്.
ദശാംശ ബിന്ദു ഒഴിവാക്കി സാധാരണ പോലെ ഹരിക്കുക.
ശേഷം ആദ്യ സംഖ്യയിലെ ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൽ നിന്നും രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയുടെ ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങളുടെ എണ്ണം കുറച്ച് കിട്ടുന്ന സ്ഥാനങ്ങളുടെ എണ്ണം ഉത്തരത്തിൽ വലത് നിന്നും ഇടത്തേക്ക് മാറ്റി ബിന്ദു ഇടുക.

കഴിഞ്ഞു.

ഇനി ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കൂ

0.20 / 0.4

ഇതിനെ ദശാംശ സ്ഥാനം മാറ്റി ഇങ്ങനെ എഴുതുക

20/4
അപ്പോൾ ഉത്തരം 5 എന്ന് കിട്ടും.
ഇനി ആദ്യ സംഖ്യയിലെ ദശാംശ സ്ഥാനമായ 2 ൽ നിന്നും രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയുടെ ദശാംശ സ്ഥാനമായ 1 കുറച്ചാൽ 1 ദശാംശ സ്ഥാനം കിട്ടും. 
അത് ഉത്തരത്തിൽ വലത് നിന്നും ഇടത്തേക്ക് ഒരു സ്ഥാനം മാറ്റി ബിന്ദു ഇടുക.
അപ്പോൾ
ഉത്തരം

0.5 എന്ന് കിട്ടും.

മനസ്സിലായോ ??
എങ്കിൽ ഈ കണക്ക് ചെയ്യൂ

0.025 / 0.5 = ???

പ്രിയമുള്ളവരേ,
ഇനി നമുക്ക് ദശാംശ സംഖ്യകളുടെ ഗുണന ക്രിയ എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് പഠിക്കാം...

ദശാംശ സംഖ്യകൾ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുന്നതിന് ദശാംശ ബിന്ദു ഒഴിവാക്കി സംഖ്യകളെ സാധാരണ സംഖ്യകളാക്കി മാറ്റി പതിവ് പോലെ ഗുണിക്കുക.

ശേഷം, ആ സംഖ്യകളിൽ എല്ലാത്തിലും കൂടി എത്ര ദശാംശസ്ഥാനമുണ്ടോ അത്രയും സ്ഥാനം ഉത്തരത്തിൽ വലത്ത് നിന്നും ഇടത്തേക്ക് മാറ്റി ദശാംശ ബിന്ദു ഇടുക.
ഒരു ഉദാഹരണം ചെയ്യാം.

0.8 X 1.1 X 0.2
ഇതിനെ ദശാംശ സംഖ്യ ഒഴിവാക്കി ഇങ്ങനെ എഴുതുക
8 x 11 x 2
അപ്പോൾ ഉത്തരം 176 എന്ന് കിട്ടും
ഇനി ചോദ്യത്തിലെ സംഖ്യകളിലെ ദശാംശ സ്ഥാനം എണ്ണിയെടുക്കുക അപ്പോൾ 3 ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് കാണാം .

ഉത്തരമായി ലഭിച്ച 176 എന്ന സംഖ്യയുടെ വലത്ത് നിന്നും 3 അക്കം മാറ്റി ദശാംശ ബിന്ദു ഇടുക.
അതായത് ,

0.176 എന്ന് കിട്ടും.

എല്ലാവർക്കും മനസിലായോ ?

എങ്കിൽ ഈ ഒരു കണക്ക് എല്ലാവരും വേഗം ചെയ്തു കാണിച്ചേ......

ചോദ്യം.

0. 08 X 0.11 X 0.2 = ??

പ്രീയമുള്ളവരേ,
നമുക്ക് ഇന്ന് ദശാംശ സംഖ്യകളുടെ സങ്കലന വ്യവകലന ക്രിയകൾ പഠിക്കാം .

വളരെ ഈസിയാണ്.

ദശാംശ ബിന്ദു ഒരേ നിരയിൽ വരത്തക്ക വിധം സംഖ്യകളെ ക്രമീകരിച്ച ശേഷം സാധാരണ പോലെ കൂട്ടുക.
എന്തെങ്കിലും ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ടെങ്കിൽ
ദശാംശ സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം തുല്യമാക്കാൻ വലത് വശത്ത് ആവശ്യമായ പൂജ്യം ചേർത്തു കൊള്ളൂ...

ഉദാഹരണം നോക്കാം.

645.634 + 17.48 + 1.5

ഇതിനെ ആദ്യം ദശാംശ ബിന്ദു ഒരേ നിരയിൽ വരത്തക്ക വിധം ക്രമീകരിക്കാം.

645.634
17.48
1.5
---------------
664.614
========

സംശയമുള്ളവർക്ക് ഇതിനെ താഴെ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന രീതിയിൽ ക്രമീകരിക്കാം

645.634
17.480
1.500
---------------
664.614
========

മനസിലായല്ലോ....

ദശാംശ സംഖ്യകൾ തമ്മിൽ കുറയ്ക്കുന്നതും ഇതേ രീതിയിൽ തന്നെയാണ്.

കൂടുതൽ പരിശീലന ചോദ്യങ്ങളിലൂടെ ഇത് കൂടുതൽ നന്നായി മനസ്സിലാക്കാം...

പ്രിയമുള്ളവരേ,
ഒരു ദശാംശ സംഖ്യയെ ഭിന്ന സംഖ്യയാക്കി മാറ്റുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് നോക്കാം

ദശാംശ സംഖ്യയെ ഭിന്ന സംഖ്യയാക്കി മാറ്റാൻ ഛേദത്തിൽ 10,100, 1000 തുടങ്ങിയ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. സംഖ്യയിൽ എത്ര ദശാംശ സ്ഥാനമുണ്ടോ അത്രയും എണ്ണം പൂജ്യമുള്ള സംഖ്യ ഛേദമായി എഴുതിയാൽ മതി.അംശമായി ദശാംശം ഒഴിവാക്കി സംഖ്യ എഴുതുക.

ഉദാഹരണം നോക്കൂ

0.5 = 5 / 10

0.654 = 654/1000

1.75 = 175/100

48.5 = 485/ 10

എല്ലാവർക്കും മനസിലായോ??

നാളെ ദശാംശ സംഖ്യകളുടെ ക്രീയകൾ പഠിക്കാം

പ്രിയമുള്ളവരേ,
നമുക്കിനി ദശാംശ സംഖ്യകളേ കുറിച്ച് പഠിക്കാം .
ദശാംശ സംഖ്യകൾ എന്താണെന്ന് എല്ലാവർക്കും അറിയാമല്ലോ..ദശാംശം എന്നാൽ പത്തിന്റെ അംശം എന്നാണർത്ഥം.

ഒരു ഭിന്ന സംഖ്യയെ എങ്ങനെ ദശാംശ സംഖ്യയാക്കാമെന്ന് ഇന്ന് പഠിക്കാം.

ഒരു ഭിന്ന സംഖ്യയെ ദശാംശ സംഖ്യയാക്കാൻ അംശത്തെ ഛേദം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മതി.
ഉദാ:
4/5
4 നെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. 
അപ്പോൾ 0.8 എന്ന് കിട്ടും.

ഇനി ഛേദം 10,100, 1000 എന്നിങ്ങനെയുള്ള സംഖ്യകൾ ആണെങ്കിൽ ഛേദത്തിൽ എത്ര പൂജ്യമുണ്ടോ അത്രയും സ്ഥാനങ്ങൾ അംശത്തിൽ നിന്നും വലത്തു നിന്നും ഇടത്തോട്ട് മാറ്റിദശാംശ ബിന്ദു നൽകണം.

ഉദാഹരണം നോക്കൂ.

1815/10 = 181.5

1815/100 = 18.15

1815/1000 = 1.815

1815/10000 = 0.1815

ഇത്രയും മനസിലായോ ?

അടുത്ത പോസ്റ്റിൽ എങ്ങനെ ഒരു ദശാംശ സംഖ്യയെ ഭിന്ന സംഖ്യയാക്കി മാറ്റാം എന്ന് പഠിക്കാം.

പ്രിയമുള്ളവരേ , 

ഇനി നമുക്ക് നെഗറ്റീവ് , പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള സങ്കലനം എങ്ങനെയാണ് ചെയ്യുന്നതെന്ന് ഈ പോസ്റ്റിൽ പഠിക്കാം . 

വളരെ എളുപ്പമാണ്. 

ചിത്രം  നോക്കുക : 

ഒരേ ചിഹ്നമുള്ള സംഖ്യകളുടെ  തുക കാണുന്നതിനു  സംഖ്യകള്‍ തമ്മില്‍ കൂട്ടി പൊതുവായ  ചിഹ്നം  ഇട്ടാല്‍  മതി.. 

അതായത്.. 

(+) + (+) = + 
(-) + (-)  = - 

ഉദാഹരണം നോക്കിക്കേ... 

 5+6     =  11 

-5 + -6 = -11 

 ഇനി വ്യത്യസ്ത  ചിഹ്നമുള്ള  സംഖ്യകള്‍ തമ്മില്‍ കൂട്ടുന്നതിനു വലിയ സംഖ്യയില്‍ നിന്നും  ചെറിയ സംഖ്യ കുറച്ചു  വലുതിന്റെ  ചിഹ്നം  ഇട്ടാല്‍ മതി .... 

ഉദാഹരണം : 

-5 + 6 =    (+) 1 

-6 + 5 =    (-) 1 

-50 + 15  =  ആദ്യം  വ്യത്യാസം കാണുക.  35  എന്ന് കിട്ടും. വലിയ  സംഖ്യ   50  ആയതു കൊണ്ട്  50 ന്‍റെ ചിഹ്നമായ  (-) ഉത്തരതിന്റെ  ചിഹ്നമാകും. ഉത്തരം  (-) 35

എല്ലാവര്ക്കും  മനസ്സിലായോ.??? 

ഒന്നും പറയാനില്ല ....

=D =D =D =D

പോസിറ്റീവ് നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള ഗുണന ക്രിയ ചെയ്യുന്നത് പോലെ തന്നെയാണ് ഇതും .

#ഒരേചിഹ്നമുള്ള രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഹരണഫലം #പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും.

ഉദാഹരണം നോക്കാം

 10 ÷   2  = 5
-10 ÷ - 2 = 5

മനസ്സിലായല്ലോ ?
ഇനി അടുത്തത്,

#വ്യത്യസ്തചിഹ്നമുള്ള രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഹരണഫലം #നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും.

ഉദാഹരണം നോക്കാം

10 ÷ - 2 = - 5
-10 ÷ 2 = - 5

എല്ലാവർക്കും മനസ്സിലായല്ലോ അല്ലേ ?
പരിശീലന ചോദ്യങ്ങളിലൂടെ കൂടുതൽ വ്യക്തത വരുത്താം ....

പ്രീയമുള്ളവരേ.,
ഇനി നമുക്ക് #ന്യൂനസംഖ്യ കളെ കുറിച്ച് പഠിക്കാം ..

എന്താണ് ന്യൂന സംഖ്യകൾ ?

സിംപിളാണ്.

പൂജ്യത്തേക്കാൾ ചെറുതായ സംഖ്യകളാണ് ന്യൂനസംഖ്യകൾ അഥവാ #നെഗറ്റീവ്സംഖ്യകൾ എന്ന് പറയുന്നത്.

പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലിയ സംഖ്യകൾ അധിസംഖ്യകൾ അഥവാ #പോസിറ്റീവ്സംഖ്യകൾ എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നു .

ഏറ്റവും വലിയ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ (-) 1 ആണ്.

നെഗറ്റീവോ പോസിറ്റീവോ അല്ലാത്ത സംഖ്യയാണ് - 0

നെഗറ്റീവ് , പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള ഗുണന ക്രിയ എങ്ങനെയാണ് ചെയ്യുന്നതെന്ന് ഈ പോസ്റ്റിൽ നോക്കാം.

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

#ഒരേചിഹ്നമുള്ള രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം #പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും.

ഉദാഹരണം നോക്കാം

10 x 6 = 60
-10 x - 6 = 60

മനസ്സിലായല്ലോ ?
ഇനി അടുത്തത്,

#വ്യത്യസ്തചിഹ്നമുള്ള രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം #നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും.

ഉദാഹരണം നോക്കാം

10 x - 6 = - 60
-10 x 6 = - 60

എല്ലാവർക്കും മനസ്സിലായല്ലോ അല്ലേ ?
പരിശീലന ചോദ്യങ്ങളിലൂടെ കൂടുതൽ വ്യക്തത വരുത്താം ....

പ്രീയമുള്ളവരേ,

ഇനി നമുക്ക് ഭിന്ന സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള ഹരണത്തെ കുറിച്ച് പഠിക്കാം.

ഓർക്കുക.

ഭിന്ന സംഖ്യകൾ തമ്മിൽ ഹരണം #ഇല്ല

അപ്പോൾ രണ്ട് ഭിന്ന സംഖ്യകൾ തമ്മിൽ ഹരിക്കാൻ വന്നാലോ ?

രണ്ടാമത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ #വ്യുൽക്രമംകൊണ്ട് ആദ്യ സംഖ്യയെ ഗുണിക്കണം.

പച്ച മലയാളത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ#തിരിച്ചിട്ട്ഗുണിക്കണം എന്ന്......

ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കിക്കേ....

2/6 ÷ 3/5 ഇങ്ങനെ വന്നാൽ 3/5 ന്റെ വ്യുൽക്രമം എടുക്കുക. അതായത് 3 താഴെയും 5 മുകളിലുമാക്കുക. 5/3
ഇതിനെ 2/6 മാ യി ഗുണിക്കുക

2/6 x 5/3 എന്ന് വരും.

ഗുണിക്കുന്നതെങ്ങനെയെന്ന് എല്ലാവർക്കും അറിയാലോ ?

മുകളിലുള്ളത് ഗുണിച്ച് മുകളിലും താഴെയുള്ളത് ഗുണിച്ച് താഴെയും എഴുതുക.

10/18 എന്ന് കിട്ടും .
ഉത്തരം ഏറ്റവും ലഘൂകരിച്ച് എഴുതുക. 2 കൊണ്ട് അംശത്തേയും ഛേദത്തേയും ഹരിച്ച് 5/9 എന്ന് ഉത്തരമെഴുതാം.

ഓക്കെയല്ലേ ??

പ്രിയമുള്ളവരേ.,
ഇനി നമുക്ക് ഭിന്ന സംഖ്യകൾ തമ്മിൽ ഗുണി ക്കുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് പഠിക്കാം.
ഒട്ടും പ്രയാസമില്ല.
അംശങ്ങൾ തമ്മിൽ ഗുണിച്ച് അംശമായും ഛേദങ്ങൾ തമ്മിൽ ഗുണിച്ച് ഛേദമായും എഴുതിയാൽ മതി.

ഉദാഹരണം നോക്കൂ .

2/4 x 3/ 5

2 x 3
..................
4 x 5

= 6/ 20
ലഘൂകരിക്കുമ്പോൾ 3/10 എന്ന് കിട്ടും.

മനസിലായോ ?

പ്രിയമുള്ളവരേ.,

ഇനി നമുക്ക് വ്യത്യസ്ത ഛേദമുള്ള ഭിന്ന സംഖ്യകളുടെ സങ്കലനവും വ്യവകലനവും എങ്ങനെ ചെയ്യുമെന്ന് നോക്കാം.
ചിത്രം നോക്കുക. ഇതൊരു എളുപ്പവഴിയാണ്. 
വ്യത്യസ്ത ഛേദമുള്ള ഭിന്ന സംഖ്യകൾ തമ്മിൽ കൂട്ടാനോ കുറയ്ക്കാനോ വന്നാൽ ആദ്യം ഛേദം തമ്മിൽ ഗുണിച്ച് ഉത്തരത്തിന്റെ ഛേദമായി എഴുതണം. ശേഷം ഒന്നാമത്തെ സംഖ്യയുടെ അംശവും രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയുടെ ഛേദവും തമ്മിൽ ഗുണിച്ച് അംശത്തിൽ എഴുതുക .ശേഷം ചോദ്യത്തിലെ ചിഹ്നം എടുത്ത് അംശത്തിനൊപ്പം എഴുതുക. വീണ്ടും രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയുടെ അംശവും ഒന്നാമത്തെ സംഖ്യയുടെ ഛേദവും തമ്മിൽ ഗുണിച്ച് അംശത്തിലെഴുതുക.
ഇതിനെ നിർദ്ധാരണം ചെയ്താൽ ഉത്തരമായി.
ഇനി ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

2 + 1
-------- ----------
4 3

ആദ്യം ഛേദം തമ്മിൽ ഗുണിച്ച് ഛേദത്തിലെഴുതുക.
4 x 3 = 12 അതാണ് ഉത്തരത്തിന്റെ ഛേദം

ഇനി,
ഒന്നാമത്തെ സംഖ്യയുടെ അംശവും രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയുടെ ഛേദവും തമ്മിൽ ഗുണിച്ച് അംശത്തിൽ എഴുതുക .
അതായത്
2 x 3 = 6
ശേഷം ചിഹ്നം അതുപോലെടുത്ത് അംശത്തിലെഴുതുക .ഇവിടെ കൂട്ടാനായതു കൊണ്ട് + ചിഹ്നം അംശത്തിലെഴുതുക
.ശേഷം,
രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയുടെ അംശവും ഒന്നാമത്തെ സംഖ്യയുടെ ഛേദവും തമ്മിൽ ഗുണിച്ച് അംശത്തിലെഴുതുക.

1 x 4 = 4

ഇനി എങ്ങനെ വരും എന്ന് നോക്കാം

6 + 4
-----------------
12

മനസിലായോ
ഉത്തരം

10
----------
12

ലഘൂകരിക്കുമ്പോൾ

5/6 എന്ന് കിട്ടും.

മനസിലായോ ??
കൂടുതൽ പരിശീലന ചോദ്യങ്ങൾ ചെയ്യുമ്പോൾ കൂടുതൽ വ്യക്തമാകും .

പ്രിയമുള്ളവരേ,

ഇനിനമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യകളെ കുറിച്ച് പഠിക്കാം.

ഈ പോസ്റ്റില്‍ പറയുന്നത് ഒരേ ഛെദം ഉള്ള ഭിന്നസംഖ്യകള്‍ തമ്മില്‍ കൂട്ടുന്നതും കുറയ്ക്കുന്നതും എങ്ങനെഎന്നാണു.?

ഛെദം, അംശം എന്നൊക്കെ പറയുന്നത് എന്താണ് എന്നറിയാമല്ലോ അല്ലെ.?

അറിയാന്‍മേലാത്തവര്‍ തല്‍ക്കാലം ഇത്രയും മനസ്സിലാക്കുക. വരയ്ക്കു മുകളില്‍ ഉള്ളത് #അംശം വരയ്ക്കു താഴെയുള്ളത്#ഛെദം =D =D

ഒരേ ഛെദം ഉള്ള ഭിന്നസംഖ്യകള്‍ തമ്മില്‍ കൂട്ടാന്‍ വന്നാല്‍ ഛെദം അതുപോലെ തന്നെ എടുത്തു ഉത്തരത്തില്‍ ഛെദത്തിന്‍റെ സ്ഥാനത് എഴുതുക.

അംശം തമ്മില്‍ കൂട്ടി എഴുതുക...

കഴിഞ്ഞു... ഉത്തരം റെഡി

ഒരുഉദാഹരണം:

2        4
--   +   ----
6        6

ചോദ്യംനോക്കൂ...

ഛെദം രണ്ടിലും 6 തന്നെയാണല്ലോ(വരയ്ക്കു താഴെയുള്ളത്)

അപ്പോള്‍ ഉത്തരതിന്റെ ഛെദവും 6 തന്നെയായിരിക്കും.

എടുത്തു എഴുതുക. ശേഷം, അംശത്തില്‍ ഉള്ള സംഖ്യകള്‍ തമ്മില്‍ കൂട്ടി എഴുതുക,

നോക്കൂ...

2 + 4
---------
   6

     6
= -----
     6

6/6 എന്നാല്‍ ഉത്തരം 1

മനസ്സിലായോ..?

കുറയ്ക്കാന്‍ വന്നാലും ഇങ്ങനെതന്നെ.. അംശങ്ങള്‍ തമ്മില്‍ കൂട്ടുന്നതിനു പകരം കുറച്ച് എഴുതണംഎന്ന്മാത്രം..

ഓക്കേയല്ലേ.????

പ്രീയമുള്ളവരേ.,
വിഷമഭിന്നം എന്താണെന്ന് അറിയാമല്ലോ ?
ഛേദത്തിനേക്കാൾ വലിയ അംശമുള്ള ഭിന്ന സംഖ്യകളാണ് വിഷമ ഭിന്നങ്ങൾ. അതിനെ എങ്ങനെ മിശ്ര ഭിന്നം ആക്കാമെന്ന് നോക്കാം. ചിത്രത്തിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.
ഇനി ഉദാഹരണം നോക്കാം.

8 / 5 എന്ന വിഷമഭിന്നത്തെ എങ്ങനെ മിശ്ര ഭിന്നം ആക്കാമെന്ന് നോക്കാം .

അംശത്തെ ഛേദം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക

8/ 5 അപ്പോൾ ഹരണ ഫലം 1 ഉം ശിഷ്ടം 3 എന്നും കിട്ടും.

ഹരിക്കാൻ എല്ലാവർക്കും അറിയാമല്ലോ അല്ലേ... =D

ഹരണ ഫലമായി കിട്ടിയ 1 ആണ് മിശ്ര ഭിന്നത്തിലെ പൂർണ്ണ സംഖ്യ. അതിനെ അൽപം മാറ്റി എഴുതുക.ശിഷ്ടമായ 3 നെ അംശമായും വിഷമഭിന്നത്തിലെ ഛേദം മിശ്ര ഭിന്നത്തിലെ ഛേദമായും എഴുതുക. അപ്പോൾ ഇങ്ങനെ കിട്ടും

3
1 --------
5

എല്ലാവർക്കും മനസിലായോ ??

പ്രിയമുള്ളവരേ.,

ഇനി നമുക്ക് ഒരു മിശ്ര ഭിന്നത്തെ വിഷമഭിന്നമാക്കുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് നോക്കാം.

വളരെയെളുപ്പമാണത്. ചിത്രത്തിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഇനി ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

2

6 .........

3 

ഈ മിശ്ര ഭിന്നത്തിനെ വിഷമഭിന്നമാക്കി നോക്കാം.

പൂർണ്ണ സംഖ്യ 6 ആണല്ലോ . 

6 x ഛേദം (അതായത് 3) + അംശം (അതായത് 2)

6 X 3 +2 = 20 ഇതാണ് അംശം .

മിശ്ര ഭിന്നത്തിലെ ഛേദം അതുപോലെ വിഷമഭിന്നത്തിലും എഴുതുക. 

അപ്പോൾ 20/ 3 എന്ന് കിട്ടും.

മനസിലായോ ???

പ്രീയമുള്ളവരേ,
ഭിന്ന സംഖ്യാ മേഖലയിലെ PSC യുടെ ഒരു ഇഷ്ട ചോദ്യമാണ് ഭിന്ന സംഖ്യകളിലെ വലുതിനേം ചെറുതിനേയും കണ്ടെത്തുക എന്നത്.

ഇതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഓർത്തിരിക്കേണ്ട ചില വസ്തുതകൾ പറയാം..

* അംശവും ഛേദവും തുല്യമായ സംഖ്യകളുടെ വില 1 ആണ്.

* സാധാരണ ഭിന്ന സംഖ്യകളുടെ വില 1 നേക്കാൾ കുറവായിരിക്കും.

* വിഷമഭിന്നത്തിന്റെ വില 1 നേക്കാൾ കൂടുതലായിരിക്കും.

* തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ എല്ലാം സാധാരണ ഭിന്നമായിരിക്കുകയും അംശവും ഛേദവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം ഒരേ സംഖ്യയായിരിക്കുകയും ചെയ്താൽ ഏറ്റവും വലിയ ഛേദം ഉള്ള ഭിന്ന സംഖ്യയായിരിക്കും ഏറ്റവും വലുത്.

#മുകളിൽപറഞ്ഞ പ്രത്യേകതകൾ ഒന്നും കണ്ടെത്താൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ താഴെപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ചെയ്യണം.

തന്നിരിക്കുന്ന ഭിന്ന സംഖ്യകളിൽ നിന്നും രണ്ട് ഭിന്ന സംഖ്യ എടുത്ത് ഒന്നിന്റെ അംശവും അടുത്തതിന്റെ ഛേദവുമായി ഗുണിക്കുക. അതായത്#ക്രോസ്മൾട്ടിപ്ലിക്കേഷൻ നടത്തുക .

വലിയ ഗുണനഫലം ഏത് അംശമായി വരുന്നതാണോ അതാണ് വലിയ സംഖ്യ.

പൂർണമായും മനസിലായിട്ടില്ല എന്നറിയാം.
കൂടുതൽ പരിശീലന ചോദ്യങ്ങൾ ചെയ്യാം അപ്പോൾ കൂടുതൽ വ്യക്തമാകും.

പ്രിയമുള്ളവരേ,

ഭിന്നസംഖ്യകളെ കുറിച്ച് ചില അടിസ്ഥാന വസ്തുതകള്‍ മനസ്സിലാക്കിയിരിക്കുന്നത് ഉചിതം ആയിരിക്കുമെന്ന് കരുതുന്നു.

പലര്‍ക്കും അറിയാവുന്ന കാര്യങ്ങള്‍തന്നെയാണ് എങ്കിലും പഠനത്തിന്‍റെ പൂര്‍ണ്ണതക്കായ്‌ ചില വിവരങ്ങള്‍ചേര്‍ക്കുന്നു.

എന്താണ് ഭിന്നസംഖ്യകള്‍.?

അംശവും ഛെദവുമുള്ള സംഖ്യകളാണ് ഭിന്നസംഖ്യകള്‍.

ഉദാഹരണം: 4
                      -----
                        6

ഇതിനെ 6 ഇല്‍ 4 എന്ന് വായിക്കുന്നു. ഒരു സംഖ്യയെ അല്ലെങ്കില്‍ ഒരുവസ്തുവിനെ 6 തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വീതിച്ചതില്‍ 4 ഭാഗംഎന്നാണു ഇത്കൊണ്ട്ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്.

മനസ്സിലായല്ലോ.??

ഭിന്നസംഖ്യകളെ മൂന്നായി തരം തിരിക്കാം.

1. സാധാരണ ഭിന്നം
2. വിഷമഭിന്നം
3. മിശ്രഭിന്നം.

#സാധാരണഭിന്നം

അംശം ചെറുതും ഛെദം വലുതും ഭിന്നസംഖ്യകളെ സാധാരണ ഭിന്നംഎന്ന്പറയുന്നു.

ഉദാഹരണം: 2       5      7
                      ---     ----    -----
                        4       8     10

#വിഷമഭിന്നം

അംശം വലുതും ഛെദം ചെറുതുമായ ഭിന്നസംഖ്യകളെ സാധാരണ ഭിന്നംഎന്ന്പറയുന്നു.

ഉദാഹരണം:  4      8      10
                        ---    ----   -----
                         2       5      7

#മിശ്രഭിന്നം

ഒരു പൂര്‍ണ്ണ സംഖ്യയും സാധാരണ ഭിന്നവും കൂടിചേര്‍ന്നതാണ് മിശ്രഭിന്നം

ഉദാഹരണം:
   3         1
3 --- , 7 ----
   4         4

ഇത്രയും മനസ്സിലായല്ലോ.???

പ്രിയമുള്ളവരേ, 

ഇന്ന് ഒരുകണക്കുകൂടിപഠിക്കാം..... 

PSC പരീക്ഷകളില്‍ സ്ഥിരമായിചോദിക്കുന്ന ഒരുകണക്കാണ് #ഹസ്തദാനംസംബന്ധിച്ചുള്ളത്. 

ഏതാനും പേര്‍ തമ്മില്‍ പരസ്പരം ഹസ്തദാനം നടത്തിയാല്‍ ആകെഹസ്തദാനങ്ങളുടെ എണ്ണംകാണുവാനുള്ള സൂത്രവാക്യമാണ് ചിത്രത്തില്‍ തന്നിരിക്കുന്നത്.

ഇവിടെ ' n ' എന്നത് ആളുകളുടെ എണ്ണമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന് 37 പേര്‍ പരസ്പരം ഹസ്തദാനം നടത്തിയെങ്കില്‍ ആകെ ഹസ്തദാനം

n(n-1)
--------
    2
n = 37

37(37-1)
-----------
     2

= 37x 36 /2

= 1332/2

=666

ഓകെയല്ലേ.????

ഹായ്.,
ഇനി നമുക്ക് ലസാഗു കാണാൻ പഠിച്ചാലോ ??

സിമ്പിളാണ്. നോക്കൂ

എന്താണ് ലസാഗു ?

ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതം എന്നതിന്റെ ചുരുക്ക രൂപമാണ് ല.സാ.ഗു

രണ്ടോ അതിലധികമോ സംഖ്യകളുടെ പൊതു ഗുണിതങ്ങളിൽ ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യയാണ് ല.സാ.ഗു

മനസിലായില്ലല്ലേ....

ഒരു ഉദാഹരണം പറയാം .

3, 4, 6 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ലസാഗു എങ്ങനെ കാണും എന്ന് നോക്കാം..

3ന്റെ ഗുണിതങ്ങൾ : 3 ,6,9,12,15,18, 21,24
4ന്റെ ഗുണിതങ്ങൾ : 4,8,12,16,20,24,28,32
6ന്റെ ഗുണിതങ്ങൾ : 6,12,18,24,30,36,42

പൊതു ഗുണിതങ്ങൾ നോക്കൂ.. അതായത് 3 ലും ഉള്ള സംഖ്യകൾ .

12, 24 അല്ലേ ??

അതിൽ ചെറുത് 12 അല്ലേ ?

അപ്പോൾ 3,4, 6 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ലസാഗു 12 ആണ് എന്ന് മനസിലായോ ??

കുറച്ച് കൂടി ലളിതമായി ഘടക ക്രിയാ രീതിയിൽ ചെയ്യാം. അത്#വീഡിയോക്ലാസ്സിൽ പറയാം..

ഇത് മനസ്സിലായോ എല്ലാവർക്കും ??

പ്രിയമുള്ളവരേ.,
സംഖ്യസംബന്ധമായ മറ്റൊരുകണക്ക് പഠിക്കാം...
ചിത്രത്തില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യം മനസ്സിലാക്കി വെയ്ക്കുക. സൂത്രവാക്യത്തിലെ " n " എന്ന അക്ഷരം സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഇരട്ടസംഖ്യകളുടെ എണ്ണമാണ്.
ഇനി നമുക്കൊരുഉദാഹരണംനോക്കാം.
ചോദ്യംഇതാണ്.
100 ഇല്‍ താഴെയുള്ള ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ തുക കാണുക.
100 വരെയുള്ള സംഖ്യകളില്‍ ഇരട്ട സംഖ്യ 50 എണ്ണം മാത്രമേ ഉള്ളെന്നു അറിയാമല്ലോ....

അപ്പോള്‍ n = 50
ഇനി സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കാം..

n(n+1)

അതായത്,
50x(50+1)

50x51

=2550
====
ഒക്കെയല്ലേ....??

പ്രിയമുള്ളവരേ.,

സംഖ്യസംബന്ധമായ മറ്റൊരുകണക്ക് പഠിക്കാം...

ചിത്രത്തില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യം മനസ്സിലാക്കി വെയ്ക്കുക. സൂത്രവാക്യത്തിലെ " n " എന്ന അക്ഷരം സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ എണ്ണമാണ്.

ഇനി നമുക്കൊരുഉദാഹരണംനോക്കാം.

ചോദ്യംഇതാണ്.

50 ഇല്‍ താഴെയുള്ള ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ തുക കാണുക.

ആകെസംഖ്യകളുടെ എണ്ണം = 50 ആണെന്ന് മനസ്സിലായല്ലോ.. അതില്‍ 25 ഒറ്റ സംഖ്യകളും 25 ഇരട്ട സംഖ്യകളും ഉണ്ടാകും.

അപ്പോള്‍ n = 25

ഇനി സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കാം..

n2

അതായത്,
25x25

=625
====

ഒക്കെയല്ലേ....??

പ്രിയമുള്ളവരേ.,

സംഖ്യസംബന്ധമായ ഒരുകണക്ക് പഠിക്കാം...

PSC സ്ഥിരമായി ചോദിക്കുന്ന ഒരുചോദ്യമാണിത്. ഒരുപക്ഷെ നിങ്ങള്‍കണ്ടിട്ടുണ്ടാകും... 
1 മുതല്‍ 100 വരെയുള്ള എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളുടെതുക എത്രയാണ് എന്ന മോഡല്‍ ചോദ്യങ്ങള്‍..

എങ്ങനെയാണ് അത്കണ്ടെത്തുക എന്ന് നോക്കാം...
ചിത്രത്തില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യം മനസ്സിലാക്കി വെയ്ക്കുക. സൂത്രവാക്യത്തിലെ " n " എന്ന അക്ഷരം സൂചിപ്പിക്കുന്നത് സംഖ്യകളുടെ എണ്ണമാണ്.

ഇനി നമുക്കൊരുഉദാഹരണംനോക്കാം.

ചോദ്യംഇതാണ്.

1 മുതല്‍ 50 വരെയുള്ള എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളുടെതുക എത്രയാണ്.?

സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം = 50 ആണെന്ന് മനസ്സിലായല്ലോ.. അപ്പോള്‍ n = 50

ഇനി സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കാം..

n(n+1)
---------
2

അതായത്,

50(50+1)
------------
2

= 50 x51
-----------
2

= 2550
------
2

= 1275
====

ഒക്കെയല്ലേ....??

പ്രീയമുള്ളവരേ..,

ഇന്നലെ ഭാജ്യ - അഭാജ്യ സംഖ്യകളെ കുറിച്ച് പഠിച്ചല്ലോ.. അപ്പോൾ മുതൽ പലരും ചോദിക്കുന്ന ഒരു സംശയത്തിന് ഉത്തരമായാണ് ഈ പോസ്റ്റ് .

നിശേഷഹരണം എങ്ങനെ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താം 

#2കൊണ്ടുള്ള നിശേഷ ഹരണം
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

എല്ലാ ഇരട്ട സംഖ്യകളേയും 2 കൊണ്ട് നിശേഷം ഹരിക്കാൻ കഴിയും. സംഖ്യയിലെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം പൂജ്യമോ രണ്ടിന്റെ ഗുണിതങ്ങളോ ആയിരിക്കണം.

ഉദാ: 78,460,116

#3കൊണ്ടുള്ള നിശേഷ ഹരണം
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയിലെ അക്കങ്ങളുടെ തുക മൂന്നോ മൂന്നിന്റെ ഗുണിതങ്ങളോ ആണെങ്കിൽ ആ സംഖ്യയെ 3 കൊണ്ട് നിശേഷം ഹരിക്കാം .
ഉദാ : 512
സംഖ്യയിലെ അക്കങ്ങൾ തമ്മിൽ കൂട്ടുക.
5+1+2 =8
8 മൂന്നിന്റെ ഗുണിതം അല്ലാത്തതിനാൽ ഈ സംഖ്യയെ 3 കൊണ്ട് നിശേഷം ഹരിക്കാനാവില്ല.
മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഉദാ: 831
സംഖ്യയിലെ അക്കങ്ങൾ തമ്മിൽ കൂട്ടുക.
8+3+1= 12
12 മൂന്നിന്റെ ഗുണിതം ആയതിനാൽ ഈ സംഖ്യയെ 3 കൊണ്ട് നിശേഷം ഹരിക്കാം .

# 4കൊണ്ടുള്ള നിശേഷ ഹരണം
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയിലെ അവസാനത്തെ 2 അക്കങ്ങൾ ചേർന്നുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ 4ന്റെ ഗുണിതമോ രണ്ട് പൂജ്യമോ ആയിരിക്കണം .
ഉദാ: 48632 , 281600, 673812

# 5കൊണ്ടുള്ള നിശേഷ ഹരണം
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയിലെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം 5 അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യം ആയിരിക്കണം.

ഉദാ: 480,5675,47180 , 18655

============================================================================

നിശേഷഹരണം എങ്ങനെ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താം - പാർട്ട് 2

#6കൊണ്ടുള്ള നിശേഷ ഹരണം
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയെ 2 കൊണ്ടും 3 കൊണ്ടും നിശേഷം ഹരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ ആ സംഖ്യയെ 6 കൊണ്ടും നിശേഷം ഹരിക്കാം . 

ഉദാ: 34644

ഈ സംഖ്യ നോക്കൂ... ഇരട്ട സംഖ്യ ആയതിനാൽ 2 കൊണ്ട് നിശേഷം ഹരിക്കാം എന്നുറപ്പല്ലേ ...

ഇനി ഇതിനെ 3 കൊണ്ട് നിശേഷം ഹരിക്കാൻ കഴിയുമോന്ന് നോക്കാം ...

3 + 4 + 6 + 4 + 4 = 21

21 മൂന്നിന്റെ ഗുണിതമായതിനാൽ 3 കൊണ്ടും ഈ സംഖ്യയെ നിശേഷം ഹരിക്കാം.
തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയെ 2 കൊണ്ടും 3 കൊണ്ടും നിശേഷം ഹരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ ആ സംഖ്യയെ 6 കൊണ്ടും നിശേഷം ഹരിക്കാം .

ഒക്കെയല്ലേ ???

ഇത് മനസിലായല്ലോ ???

=======================================================================

നിശേഷഹരണം എങ്ങനെ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താം - പാർട്ട് 3

#8കൊണ്ടുള്ള നിശേഷ ഹരണം
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ അവസാനത്തെ 3 അക്കങ്ങൾ ചേർന്നുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ മൂന്ന് പൂജ്യമോ അല്ലെങ്കിൽ 8 കൊണ്ടു നിശേഷം ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നതോ ആണെങ്കിൽ ആ സംഖ്യയെ 8 കൊണ്ടു നിശേഷം ഹരിക്കാം . 

ഉദാ: 67586000 , 5488

#9കൊണ്ടുള്ള നിശേഷ ഹരണം
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ തുക 9 ന്റെ ഗുണിതം ആണെങ്കിൽ ആ സംഖ്യയെ 9 കൊണ്ടു നിശേഷം ഹരിക്കാം

ഉദാ: 65412

6 + 5 + 4 + 1 + 2 = 18

18 എന്നത് 9 ന്റെ ഗുണിതമായതിനാൽ
65412 എന്ന സംഖ്യയെ 9 കൊണ്ട് നിശേഷം ഹരിക്കാം .

#10കൊണ്ടുള്ള നിശേഷ ഹരണം
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയിലെ അവസാന അക്കം 0 ആണെങ്കിൽ സംഖ്യയെ 10 കൊണ്ടു നിശേഷം ഹരിക്കാം

ഒക്കെയല്ലേ ???

പ്രീയമുള്ളവരേ,

ഇനി പറയുന്നത് ഭാജ്യ - അഭാജ്യ സംഖ്യകളെ കുറിച്ചാണ്.

#അഭാജ്യസംഖ്യകൾ
•••••••••••••••••••••••••
രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ മാത്രമുള്ള സംഖ്യകളെ അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ എന്ന് പറയുന്നു. അഥവാ Prime Numberട

അതായത് 1 കൊണ്ടും അതേ സംഖ്യ കൊണ്ടും മാത്രം നിശേഷം ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യകൾ .
ഉദാഹരണം: 5

5 നെ 1 കൊണ്ടും 5 കൊണ്ടുമല്ലാതെ മറ്റൊരു സംഖ്യ കൊണ്ടും നിശേഷം ഹരിക്കാനാവില്ല .

#ഭാജ്യസംഖ്യകൾ
•••••••••••••••••••••
രണ്ടിൽ കൂടുതൽ ഘടകങ്ങളുള്ള സംഖ്യകളെ ഭാജ്യ സംഖ്യകൾ അഥവാ Composite Numbers എന്ന് പറയുന്നു.

ഉദാ: 12

12 നെ 1, 2, 3, 4, 6, 12 എന്നീ സംഖ്യകൾ കൊണ്ട് നിശേഷം ഹരിക്കാൻ കഴിയും. അതിനാൽ 12 ഒരു ഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്.

സിംപിളല്ലേ.....
എല്ലാർക്കും മനസിലായല്ലോ അല്ലേ ??
മനസിലായില്ലേൽ പറയണം.. =D

പ്രീയമുള്ളവരേ.,

സംഖ്യകളെ കുറിച്ച് ആദ്യമിട്ട പോസ്റ്റ് എല്ലാവർക്കും മനസിലായി എന്ന് കരുതുന്നു. സംശയമുള്ളവർ മടിക്കാതെ ചോദിക്കണം.
ഇനി പറയുന്നത് സംഖ്യാ ക്രമത്തെ സംബന്ധിച്ചാണ്.

#ആരോഹണക്രമം
••••••••••••••••••••••••
സംഖ്യകളെ ചെറുതിൽ നിന്നും വലുതിലേക്ക് എന്ന ക്രമത്തിൽ എഴുതുന്നതാണ് ആരോഹണ ക്രമം. അഥവാ Ascending order.
ചിത്രത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണം കാണുക.

#അവരോഹണക്രമം
••••••••••••••••••••••••
സംഖ്യകളെ വലുതിൽ നിന്നും ചെറുതിലേക്ക് എന്ന ക്രമത്തിൽ എഴുതുന്നതാണ് അവരോഹണ ക്രമം. അഥവാ Descending order.
ചിത്രത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണം കാണുക.

പ്രിയമുള്ളവരേ,

ഇനി പറയുന്നത് സംഖ്യകളുടെ മുഖവിലയെയും സ്ഥാനവിലയെയും കുറിച്ചാണ്.

#സ്ഥാനവില
--------------------

സിമ്പിള്‍ ആണ്...

ഈ സംഖ്യ നോക്കൂ...

8635

ഇവിടെ 5 എന്ന സംഖ്യ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത് ആയതിനാല്‍ സ്ഥാനവില 5 ആണ്.

3 പത്തിന്‍റെ സ്ഥാനത് ആയതിനാല്‍ 3 ന്‍റെ സ്ഥാനവില 30 ആണ് ( 3 x 10 )

6 നൂറിന്റെ സ്ഥാനത് ആയതിനാല്‍ 6 ന്‍റെ വില 600 ആണ് (6x100)

8 ആയിരത്തിന്റെ സ്ഥാനത് ആയതിനാല്‍ 8 ന്‍റെ വില 8000 ആണ് (8x1000)

#മുഖവില
--------------------
ഇത് അതിലും എളുപ്പമാണ്.

സ്ഥാനംഒന്നും പരിഗണിക്കാതെ, അക്കങ്ങളുടെ വിലമാത്രംഎടുക്കുന്നു.
അതായത്,

8635 എന്ന സംഖ്യയില്‍ അക്കങ്ങളുടെ മുഖവില യഥാക്രമം 8,6,3,5 എന്നിങ്ങനെ ആയിരിക്കും.

ഓക്കേയല്ലേ...????

ഇന്ന് നമുക്ക് സംഖ്യകളെ സംബന്ധിച്ച ചില വസ്തുതകൾ മനസിലാക്കാം.

#എണ്ണൽസംഖ്യകൾ
•••••••••••••••••••••••••
എണ്ണാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന സംഖ്യകളാണ് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എന്ന് ഏറ്റവും ലളിതമായി മനസിലാക്കാം . നിസ്സർഗ്ഗ സംഖ്യകൾ എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു.
ഉദാ: 1,2,3,4,5,6,7,8

#അഖണ്ഡസംഖ്യകൾ
•••••••••••••••••••••••••••
പൂജ്യവും എണ്ണൽ സംഖ്യകളും ചേരുന്നതാണ് അഖണ്ഡ സംഖ്യകൾ.
ഉദാ: 0,1,2,3,4,5,6,7

#ഒറ്റസംഖ്യകൾ ( Odd Numbers)
•••••••••••••••••••

രണ്ട് കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ശിഷ്ടം 1 വരുന്ന സംഖ്യകളാണ് ഒറ്റ സംഖ്യകൾ .

1,3,5,7, 9,11,13 എന്നിങ്ങനെ ഒന്നിടവിട്ട സംഖ്യകളാണ് ഇത്.

#ഇരട്ടസംഖ്യകൾ ( Even Numbers)
•••••••••••••••••••••
രണ്ട് കൊണ്ട് നിശേഷം ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകളാണ് ഇരട്ട സംഖ്യകൾ .
2,4, 6,8,10,12 എന്നിങ്ങനെ ഒന്നിടവിട്ട സംഖ്യകളാണിത് .

#പോസിറ്റീവുംനെഗറ്റീവും
•••••••••••••••••••••••••••••••
പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലിയ സംഖ്യകൾ അധിസംഖ്യ അഥവാ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ എന്നറിയപ്പെടുന്നു.

പൂജ്യത്തേക്കാൾ ചെറിയ സംഖ്യകൾ ന്യൂന സംഖ്യകൾ അഥവാ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ എന്നറിയപ്പെടുന്നു.

ഈ കാര്യങ്ങൾ അടിസ്ഥാന ഗണിത വസ്തുതകളാണ്. ഇത് എല്ലാവരും ശരിയായി ഓർമ്മയിൽ സൂക്ഷിക്കുക.
സംഖ്യകളെ സംബന്ധിച്ച തുടർ വസ്തുതകൾ അടുത്ത പോസ്റ്റിൽ.